Resolva as seguintes equações de ordem superior:
y^{(4)}-16 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior homogênea com coeficientes constantes
y^{(4)} - 16y = 0.
Informações dadas:
\text{equação: } y^{(4)} - 16y = 0,çã
é uma equação linear homogênea de ordem 4 com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral y(x), que deve envolver quatro constantes arbitrárias por ser de quarta ordem.

Passo 2

Técnica padrão: tentar soluções exponenciais. Isso funciona porque, para equações lineares com coeficientes constantes, funções da forma y(x)=e^{rx} transformam derivadas em multiplicação por r, o que reduz a ED a um polinômio em r (o polinômio característico). Vamos aplicar isso concretamente.
Se assumirmos y(x)=e^{rx}, então
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx},\quad y^{(3)} = r^3 e^{rx},\quad y^{(4)} = r^4 e^{rx}.
Substituindo na equação dada obtemos
r^4 e^{rx} - 16 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter o polinômio característico
r^4 - 16 = 0.

Passo 3

Resolver o polinômio característico. Observe que podemos fatorar:
r^4 - 16 = (r^2 - 4)(r^2 + 4).
Continuando a fatoração de r^2-4:
r^2 - 4 = (r-2)(r+2).
Logo o fator completo é
r^4 - 16 = (r-2)(r+2)(r^2+4).
As raízes são, portanto,
r = 2,\quad r = -2,\quad r^2 + 4 = 0 \Rightarrow r = \pm 2i.

Passo 4

Interpretação das raízes e como montar a solução geral:
  • Cada raiz real simples r gera uma solução fundamental e^{rx}. Assim r=2 e^{2x} e r=-2 e^{-2x}.
  • Cada par de raízes complexas conjugadas a\pm bi (aqui a=0, b=2) gera duas soluções reais \mathrm{e}^{ax}\cos(bx) e \mathrm{e}^{ax}\sin(bx). No nosso caso, como a=0, as soluções associadas a r=\pm 2i são \cos(2x) e \sin(2x).
Breve justificativa (Euler): e^{i2x}=\cos(2x)+i\sin(2x). Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária de e^{i2x} são soluções reais da equação homogênea, daí surgem \cos(2x) e \sin(2x).

Passo 5

Como todas as raízes são simples (não há multiplicidade maior que 1), a solução geral é a combinação linear das quatro soluções fundamentais obtidas:
y(x) = C_{1} e^{2x} + C_{2} e^{-2x} + C_{3} \cos(2x) + C_{4} \sin(2x),
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se existirem).

Passo 6

Verificação rápida de consistência (checar uma das soluções): por exemplo, para y=\cos(2x),
y'=-2\sin(2x),\quad y''=-4\cos(2x),\quad y^{(3)}=8\sin(2x),\quad y^{(4)}=16\cos(2x),
logo y^{(4)}-16y=16\cos(2x)-16\cos(2x)=0. O mesmo tipo de verificação funciona para \sin(2x), e^{2x} e e^{-2x}, confirmando que todas são soluções.

Resposta

y(x)=C_{1} e^{2x} + C_{2} e^{-2x} + C_{3} \cos(2x) + C_{4} \sin(2x)

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