Resolva as seguintes equações de ordem superior:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de ordem superior homogênea com coeficientes constantes
Informações dadas:
é uma equação linear homogênea de ordem
com coeficientes constantes. O objetivo é encontrar a solução geral
, que deve envolver quatro constantes arbitrárias por ser de quarta ordem.
Passo 2
Técnica padrão: tentar soluções exponenciais. Isso funciona porque, para equações lineares com coeficientes constantes, funções da forma
transformam derivadas em multiplicação por
, o que reduz a ED a um polinômio em
(o polinômio característico). Vamos aplicar isso concretamente.
Se assumirmos
, então
Substituindo na equação dada obtemos
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter o polinômio característico
Passo 3
Resolver o polinômio característico. Observe que podemos fatorar:
Continuando a fatoração de
:
Logo o fator completo é
As raízes são, portanto,
Passo 4
Interpretação das raízes e como montar a solução geral:
- Cada raiz real simples
gera uma solução fundamental . Assim dá e dá . - Cada par de raízes complexas conjugadas
(aqui , ) gera duas soluções reais e . No nosso caso, como , as soluções associadas a são e .
Breve justificativa (Euler):
. Como a equação tem coeficientes reais, as partes real e imaginária de
são soluções reais da equação homogênea, daí surgem
e
.
Passo 5
Como todas as raízes são simples (não há multiplicidade maior que
), a solução geral é a combinação linear das quatro soluções fundamentais obtidas:
onde
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se existirem).
Passo 6
Verificação rápida de consistência (checar uma das soluções): por exemplo, para
,
logo
. O mesmo tipo de verificação funciona para
,
e
, confirmando que todas são soluções.