Resolva as seguintes equações:
|2 x^2+x-3|=x^2+2 x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valor absoluto
lvert 2x^2 + x - 3rvert = x^2 + 2x - 3
O conteúdo é resolução de equações envolvendo módulo, que se faz dividindo em casos conforme o sinal de 2x^2+x-3.

Passo 2

Achemos as raízes de 2x^2 + x - 3 = 0 para determinar onde o polinômio é positivo ou negativo.
2x^2 + x - 3 = 0
x = -1 pm raiz1 + 244 = -1 pm 54
x = 1ou x = -tfrac32
Logo 2x^2+x-3>=0 em (-infty,-tfrac32]cup[1,infty) e é negativo em (-tfrac32,1).

Passo 3

No caso 2x^2 + x - 3>=0 (ou seja x<= -tfrac32 ou x>=1), temos
lvert 2x^2 + x - 3rvert = 2x^2 + x - 3,
e a equação fica
2x^2 + x - 3 = x^2 + 2x - 3
Subtraindo x^2 + 2x - 3 dos dois lados,
2x^2 + x - 3 - (x^2 + 2x - 3) = 0
x^2 - x = 0
x(x-1)=0
Daí x=0 ou x=1. Para serem válidos, devem pertencer a (-infty,-tfrac32]cup[1,infty). Só x=1 atende essa condição.

Passo 4

No caso 2x^2 + x - 3<0 (ou seja -tfrac32 < x < 1), temos
lvert 2x^2 + x - 3rvert = -(2x^2 + x - 3) = -2x^2 - x + 3,
e a equação fica
-2x^2 - x + 3 = x^2 + 2x - 3
Reunindo tudo num lado,
-2x^2 - x + 3 - x^2 - 2x + 3 = 0
-3x^2 - 3x + 6 = 0
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1)=0
As raízes são x=-2 e x=1, mas nenhuma está no intervalo -tfrac32 < x < 1. Logo não há solução neste caso.

Resposta

A única solução real é x = 1.

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