Resolva as seguintes equações:
|2 x^2-3 x|=|x-2|

Passo 1

O enunciado pede para resolver
lvert 2x^2 - 3xrvert = lvert x - 2rvert.
O assunto é equação com valor absoluto e vamos usar a propriedade
lvert Arvert = lvert Brvertiff A^2 = B^2, pois ambos os lados são não negativos.

Passo 2

Elevamos ambos os lados ao quadrado, mantendo a equivalência:
(2x^2 - 3x)^2 = (x - 2)^2

Passo 3

Reescrevemos como diferença de quadrados:
(2x^2 - 3x)^2 - (x - 2)^2 = 0 ;Longrightarrow; l(2x^2 - 3x - (x - 2)r)l(2x^2 - 3x + (x - 2)r) = 0
Agora simplificamos cada fator:
2x^2 - 3x - x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x - 1)^2,
2x^2 - 3x + x - 2 = 2(x^2 - x - 1)

Passo 4

As raízes vêm de igualar cada fator a zero:
2(x - 1)^2 = 0 Longrightarrow x = 1,
x^2 - x - 1 = 0 Longrightarrow x = 1 pm raiz52

Passo 5

Verificamos rápido no original para garantir que não houve solução extraviada:
  • Para x=1:
    lvert 2cdot1^2 - 3cdot1rvert = lvert -1rvert = 1 e
    lvert 1 - 2rvert = 1. OK.
  • Para x=tfrac1+raiz52 e x=tfrac1-raiz52 vale a mesma lógica numérica, já que
    lvert 2x^2 - 3xrvert e lvert x - 2rvert coincidem em cada caso.
Portanto, todas as três são soluções válidas.

Resposta

x = 1, x = 1+raiz52, x = 1-raiz52

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