Resolva as seguintes equações (nos reais); se necessário, faça o inverso multiplicativo.
x^6-7 x^3+8=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação x^6 - 7x^3 + 8 = 0. Estamos lidando com uma equação polinomial de sexto grau. Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada substituição, que ajuda a transformar a equação em uma forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos deixar y = x^3. Substituindo na equação original:
y^2 - 7y + 8 = 0
Agora, a equação virou um polinômio de segundo grau, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática y^2 - 7y + 8 = 0. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -7 e c = 8. Substituindo esses valores:
y = 7 pm raiz49 - 322 = 7 pm raiz172
Então, temos duas soluções para y:
y1 = 7 + raiz172 e y2 = 7 - raiz172

Passo 4

Lembrando que fizemos y = x^3, agora precisamos encontrar x a partir de cada valor de y. Para isso, usamos o inverso multiplicativo, que no caso é a raiz cúbica:
x = raiz[3]y
Aplicando isso para cada solução de y:
x1 = raiz[3]7 + raiz172 e x2 = raiz[3]7 - raiz172

Resposta

As soluções reais da equação são:
x = raiz[3],7 + raiz172, e x = raiz[3],7 - raiz172,

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