Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde
é uma solução conhecida da equação diferencial.
y^{\prime}=2-2 x y+y^{2} ; y_{1}=2 x .
y^{\prime}=2-2 x y+y^{2} ; y_{1}=2 x .
Passo 1
O enunciado dá a equação de Riccati
e informa uma solução particular
.
O conteúdo aqui é a técnica de reduzir Riccati a uma equação linear usando a substituição
O conteúdo aqui é a técnica de reduzir Riccati a uma equação linear usando a substituição
Passo 2
Fazemos a substituição
Calculamos
Substituindo em
e cancelando termos, obtemos a equação para
:
Passo 3
A equação
é linear de primeira ordem. O fator integrante é
Multiplicando por
temos
Passo 4
Integramos ambos os lados:
portanto
Voltando a
:
Resposta
A solução geral é
onde
é constante de integração.