Resolva as seguintes equações de Ricatti; onde y1 é uma solução conhecida da equação diferencial.
y^{\prime}=2-2 x y+y^{2} ; y_{1}=2 x .

Passo 1

O enunciado dá a equação de Riccati
y' = 2 - 2xy + y^2
e informa uma solução particular ,y1(x)=2x.
O conteúdo aqui é a técnica de reduzir Riccati a uma equação linear usando a substituição
y = y1 + 1u

Passo 2

Fazemos a substituição
y = 2x + 1u(x)
Calculamos
y' = 2 - u'u^2
Substituindo em y' = 2 - 2xy + y^2 e cancelando termos, obtemos a equação para u:
2 - u'u^2 = 2 - 2xl(2x+tfrac1ur) + l(2x+tfrac1ur)^2 ;Longrightarrow; u' + 2x,u = -1

Passo 3

A equação
u' + 2x,u = -1
é linear de primeira ordem. O fator integrante é
mu(x) = e^integral 2x,dx = e^x^2
Multiplicando por mu temos
l(e^x^2ur)' = -e^x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
e^x^2u = -integral e^x^2,dx + C,
portanto
u(x)=e^-x^2l(C - integral e^x^2,dxr)
Voltando a y:
y(x)=2x+1u(x) =2x+e^x^2,C-integral e^x^2,dx,

Resposta

A solução geral é
y(x)=2x+e^x^2C-integral e^x^2,dx,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados