Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
s) |\operatorname{sen} z| \rightarrow \infty e |\cos z| \rightarrow \infty quando y \rightarrow \infty
Passo 1
O enunciado pede para verificar o seguinte comportamento quando a parte imaginária de z tende a +\infty: mostrar que |\sin z|\to\infty e |\cos z|\to\infty.
Dados relevantes que vamos usar (escrevo z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}):
z = x + i y.
Queremos o limite quando y\to\infty (para todo x real, isto é, x pode ser fixado arbitrariamente).
Fórmulas exponenciais/Euler para funções trigonométricas complexas serão usadas.
Passo 2
Primeiro preciso lembrar e explicar as fórmulas exponenciais para \sin e \cos (essas fórmulas valem para argumentos complexos também; são consequência da expansão em série ou da fórmula de Euler estendida):
\sin z = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i},\qquad \cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2}.
Aqui e^{i z} é a exponencial complexa; para z=x+iy temos i z = i(x+iy)=i x - y, portanto
Observação didática: e^{a+ib}=e^{a}(\cos b + i\sin b), logo o fator e^{a} controla o módulo e os fatores trigonométricos controlam a direção (argumento) no plano complexo. Isso será usado para estimar módulos.
Passo 3
Agora substituo essas expressões em \sin z e faço manipulação algébrica cuidando dos fatores para deixar explícito o termo que cresce com y.
\sin z = \frac{e^{i z} - e^{-i z}}{2i} = \frac{e^{-y+i x} - e^{y - i x}}{2i} = -\,\frac{e^{y - i x}}{2i}\left(1 - e^{-2y + 2 i x}\right).
Explicação da etapa: foi fatorado e^{y - i x} (o termo que contém e^{y}), ficando o outro termo proporcional a e^{-2y+2ix}, que tende a 0 quando y\to\infty.
Agora passo ao módulo. Uso que |e^{a+ib}|=e^{a} e |2i|=2, então
|\sin z| = \frac{e^{y}}{2}\,\bigl|1 - e^{-2y + 2 i x}\bigr|.
Passo 4
Preciso agora estimar \bigl|1 - e^{-2y + 2 i x}\bigr|. Uso a desigualdade triangular no formato útil
|1-w|\ge 1-|w|\quad\text{para qualquer }w\in\mathbb{C}.
Aqui tomo w=e^{-2y+2ix}, cujo módulo é |w|=e^{-2y}. Assim
\bigl|1 - e^{-2y + 2 i x}\bigr| \ge 1 - e^{-2y}.
Substituindo na expressão de |\sin z| obtemos a desigualdade de baixo:
Como e^{-2y}\to 0 quando y\to\infty, o fator \bigl(1 - e^{-2y}\bigr) tende a 1 e portanto o lado direito tende a +\infty (porque contém e^{y}). Conclusão imediata:
|\sin z|\to\infty\quad\text{quando }y\to\infty.
Comentário intuitivo: |\sin z| cresce, em primeira ordem, como \dfrac{e^{y}}{2}.
Passo 5
Faço o mesmo raciocínio para \cos z. A partir da fórmula exponencial:
\cos z = \frac{e^{i z} + e^{-i z}}{2} = \frac{e^{-y+i x} + e^{y - i x}}{2} = \frac{e^{y - i x}}{2}\left(1 + e^{-2y + 2 i x}\right).
Isto mostra não só que ambos tendem a +\infty quando y\to\infty, mas também que crescem assimptoticamente como \dfrac{e^{y}}{2} (mais precisamente, |\sin z|\sim e^{y}/2 e |\cos z|\sim e^{y}/2 quando y\to\infty). Essa estimativa é válida uniformemente em x.
Resposta
|\sin z|\to\infty quando y\to\infty. |\cos z|\to\infty quando y\to\infty.