Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
|\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade
|\operatorname{sen} z|^{2}=\operatorname{sen}^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y,
para z\in\mathbb{C}. As informações dadas (que vou usar) são:
  • z é um número complexo que escrevo como z=x+iy, com x,y\in\mathbb{R}.
  • Preciso mostrar que o quadrado do módulo de \operatorname{sen}z é igual a \operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{senh}^{2}y.

Passo 2

Vamos escrever \operatorname{sen}z em termos de x e y. Uso a fórmula de adição para seno:
\operatorname{sen}(x+iy)=\operatorname{sen}x\cdot\cos(iy)+\cos x\cdot\operatorname{sen}(iy).
Agora preciso saber o que valem \cos(iy) e \operatorname{sen}(iy). Pelo uso das definições exponenciais:
\cos w=\frac{e^{iw}+e^{-iw}}{2},\qquad \operatorname{sen} w=\frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i},
colocando w=iy (com y\in\mathbb{R}) obtemos
\cos(iy)=\frac{e^{i(iy)}+e^{-i(iy)}}{2}=\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}=\operatorname{cosh} y,
\operatorname{sen}(iy)=\frac{e^{i(iy)}-e^{-i(iy)}}{2i}=\frac{e^{-y}-e^{y}}{2i}=i\cdot\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=i\,\operatorname{sinh} y.

Passo 3

Substituindo esses resultados na expressão de \operatorname{sen}(x+iy) :
\operatorname{sen}z=\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{cosh} y+\cos x\cdot(i\,\operatorname{sinh} y).
Ou seja,
\operatorname{sen}z=\operatorname{sen}x\operatorname{cosh} y + i\cos x\operatorname{sinh} y.
Aqui a parte real é \operatorname{Re}(\operatorname{sen}z)=\operatorname{sen}x\operatorname{cosh} y e a parte imaginária é \operatorname{Im}(\operatorname{sen}z)=\cos x\operatorname{sinh} y.

Passo 4

O quadrado do módulo de um número complexo a+ib é |a+ib|^{2}=a^{2}+b^{2}. Aplicando a isso:
|\operatorname{sen}z|^{2}=(\operatorname{sen}x\operatorname{cosh} y)^{2}+(\cos x\operatorname{sinh} y)^{2}.
Desenvolvendo e agrupando:
|\operatorname{sen}z|^{2}=\operatorname{sen}^{2}x\operatorname{cosh}^{2}y+\cos^{2}x\operatorname{sinh}^{2}y.
Uso a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1 e a relação \operatorname{cosh}^{2}y=1+\operatorname{sinh}^{2}y. Então:
\begin{aligned} |\operatorname{sen}z|^{2} &=\operatorname{sen}^{2}x(1+\operatorname{sinh}^{2}y)+\cos^{2}x\operatorname{sinh}^{2}y\\\ &=\operatorname{sen}^{2}x +\operatorname{sen}^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y+\cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y\\\ &=\operatorname{sen}^{2}x +(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x)\operatorname{sinh}^{2}y\\\ &=\operatorname{sen}^{2}x +1\cdot\operatorname{sinh}^{2}y\\\ &=\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y. \end{aligned}

Passo 5

Concluímos que a identidade pedida é verdadeira: para z=x+iy vale
|\operatorname{sen}z|^{2}=\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{senh}^{2}y.

Resposta

|\operatorname{sen}z|^{2}=\operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{senh}^{2}y

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