Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
para
. As informações dadas (que vou usar) são:
-
é um número complexo que escrevo como , com . - Preciso mostrar que o quadrado do módulo de
é igual a .
Passo 2
Vamos escrever
em termos de
e
. Uso a fórmula de adição para seno:
Agora preciso saber o que valem
e
. Pelo uso das definições exponenciais:
colocando
(com
) obtemos
Passo 3
Substituindo esses resultados na expressão de
:
Ou seja,
Aqui a parte real é
e a parte imaginária é
.
Passo 4
O quadrado do módulo de um número complexo
é
. Aplicando a isso:
Desenvolvendo e agrupando:
Uso a identidade trigonométrica
e a relação
. Então:
Passo 5
Concluímos que a identidade pedida é verdadeira: para
vale