Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para
. Determine:
-
-
Para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede explicitamente:
- as derivadas parciais de primeira ordem:
e ; - as derivadas parciais de segunda ordem:
, e .
Informações relevantes que temos: a função é dada como soma de termos do tipo monômio em
e
. Não há outras condições especiais. Vou calcular as derivadas termo a termo.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Para uma função de duas variáveis
, a derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de
quando só
varia e
é mantido fixo. Formalmente,
Na prática, ao derivar em relação a
tratamos
como constante e aplicamos as regras usuais de derivação (regra da potência, produto com constante etc.). Exemplo rápido: a derivada parcial de
em relação a
é
, porque
é constante.
Passo 3
Calculemos
termo a termo:
- Para
: tratamos como constante; a derivada de é , logo contribui . - Para
: é constante, a derivada de é , logo contribui . - Para
: é constante, a derivada de é , logo contribui .
Portanto,
Passo 4
Agora
: a derivada parcial em relação a
é obtida mantendo
constante e diferenciando em
:
Usamos a mesma ideia: trate
como constante e aplique regra da potência. Exemplo: a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Calculemos
termo a termo:
- Para
: é constante, derivada de é , contribui . - Para
: é constante, derivada de é , contribui . - Para
: é constante, derivada de é , contribui .
Logo
Passo 6
Segundas derivadas: diferenciar de novo as derivadas de primeira ordem. Notação:
Se as derivadas forem contínuas, vale
(teorema de Clairaut) — isso serve como checagem.
Passo 7
Calcule
derivando
em relação a
(tratando
constante):
- Derivada de
em é . - Derivada de
em é (é constante). - Derivada de
em é .
Portanto
Passo 8
Calcule
derivando
em relação a
(tratando
constante):
- Derivada de
em é . - Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Logo
Passo 9
Calcule
derivando
em relação a
(tratando
constante):
- Derivada de
em é . - Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Portanto
Como checagem rápida, derivando
em relação a
obtemos o mesmo resultado (isto é,
), o que confirma a consistência.