Resolva os seguintes exercícios, calculando as derivadas parciais de primeira e segunda ordem:
Para w(x, y)=x^{2} y+x y^{2}+x^{3} y^{3}. Determine:
  • w_{x} ; w_{y}
  • w_{x x} ; w_{y y} ; w_{x y}

Passo 1

O enunciado dá a função w(x,y)=x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{3} e pede explicitamente:
  • as derivadas parciais de primeira ordem: w_{x} e w_{y};
  • as derivadas parciais de segunda ordem: w_{xx}, w_{yy} e w_{xy}.
Informações relevantes que temos: a função é dada como soma de termos do tipo monômio em x e y. Não há outras condições especiais. Vou calcular as derivadas termo a termo.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Para uma função de duas variáveis w(x,y), a derivada parcial em relação a x mede a taxa de variação de w quando só x varia e y é mantido fixo. Formalmente,
w_x(x,y)=\frac{\partial w}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{w(x+h,y)-w(x,y)}{h}.
Na prática, ao derivar em relação a x tratamos y como constante e aplicamos as regras usuais de derivação (regra da potência, produto com constante etc.). Exemplo rápido: a derivada parcial de x^2 y em relação a x é 2x\cdot y, porque y é constante.

Passo 3

Calculemos w_x termo a termo:
  • Para x^{2}y: tratamos y como constante; a derivada de x^2 é 2x, logo contribui 2x\cdot y.
  • Para xy^{2}: y^{2} é constante, a derivada de x é 1, logo contribui y^{2}.
  • Para x^{3}y^{3}: y^{3} é constante, a derivada de x^{3} é 3x^{2}, logo contribui 3x^{2}\cdot y^{3}.
Portanto,
w_x(x,y)=2xy+y^{2}+3x^{2}y^{3}.

Passo 4

Agora w_y: a derivada parcial em relação a y é obtida mantendo x constante e diferenciando em y:
w_y(x,y)=\frac{\partial w}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{w(x,y+h)-w(x,y)}{h}.
Usamos a mesma ideia: trate x como constante e aplique regra da potência. Exemplo: a derivada de xy^{2} em relação a y é x\cdot 2y=2xy.

Passo 5

Calculemos w_y termo a termo:
  • Para x^{2}y: x^{2} é constante, derivada de y é 1, contribui x^{2}.
  • Para xy^{2}: x é constante, derivada de y^{2} é 2y, contribui 2xy.
  • Para x^{3}y^{3}: x^{3} é constante, derivada de y^{3} é 3y^{2}, contribui 3x^{3}y^{2}.
Logo
w_y(x,y)=x^{2}+2xy+3x^{3}y^{2}.

Passo 6

Segundas derivadas: diferenciar de novo as derivadas de primeira ordem. Notação:
w_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(w_x\big),\qquad w_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(w_y\big),\qquad w_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(w_x\big).
Se as derivadas forem contínuas, vale w_{xy}=w_{yx} (teorema de Clairaut) — isso serve como checagem.

Passo 7

Calcule w_{xx} derivando w_x=2xy+y^{2}+3x^{2}y^{3} em relação a x (tratando y constante):
  • Derivada de 2xy em x é 2y.
  • Derivada de y^{2} em x é 0 (é constante).
  • Derivada de 3x^{2}y^{3} em x é 3\cdot 2x\cdot y^{3}=6xy^{3}.
Portanto
w_{xx}(x,y)=2y+6xy^{3}.

Passo 8

Calcule w_{yy} derivando w_y=x^{2}+2xy+3x^{3}y^{2} em relação a y (tratando x constante):
  • Derivada de x^{2} em y é 0.
  • Derivada de 2xy em y é 2x.
  • Derivada de 3x^{3}y^{2} em y é 3x^{3}\cdot 2y=6x^{3}y.
Logo
w_{yy}(x,y)=2x+6x^{3}y.

Passo 9

Calcule w_{xy} derivando w_x=2xy+y^{2}+3x^{2}y^{3} em relação a y (tratando x constante):
  • Derivada de 2xy em y é 2x.
  • Derivada de y^{2} em y é 2y.
  • Derivada de 3x^{2}y^{3} em y é 3x^{2}\cdot 3y^{2}=9x^{2}y^{2}.
Portanto
w_{xy}(x,y)=2x+2y+9x^{2}y^{2}.
Como checagem rápida, derivando w_y em relação a x obtemos o mesmo resultado (isto é, w_{yx}=w_{xy}), o que confirma a consistência.

Resposta

w_{x}=2xy+y^{2}+3x^{2}y^{3}
w_{y}=x^{2}+2xy+3x^{3}y^{2}
w_{xx}=2y+6xy^{3}
w_{yy}=2x+6x^{3}y
w_{xy}=2x+2y+9x^{2}y^{2}

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