Para quais valores de c in R a série geométrica sumk=1^infty 2(1+c)^-k converge para 4 ?

Passo 1

A questão pede para achar em quais valores de cinR a série {\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 2(1+c)^{-k}} converge exatamente para 4. O conteúdo é soma de séries geométricas e precisamos usar a fórmula da soma infinita e a condição de convergência |r|<1.

Passo 2

Vamos reescrever a série em termos de uma razão r. Note que
2(1+c)^-k = 2l((1+c)^-1r)^k = 2r^k,
onde definimos r = (1+c)^-1. Assim temos
sumk=1^infty2(1+c)^-k = 2sumk=1^inftyr^k

Passo 3

Pela fórmula da soma de série geométrica infinita, para |r|<1 vale
sumk=1^inftyr^k = r1 - r
Logo o valor da soma é
S = 2cdot r1 - r = 2r1-r

Passo 4

Substituindo r = (1+c)^-1 temos
S = 2/(1+c)1 - 1/(1+c) = 2/(1+c)(1+c - 1)/(1+c) = 2c

Passo 5

Impondo S = 4 obtemos
2c = 4 Longrightarrow c = 24 = tfrac12

Passo 6

Por fim, conferimos a condição de convergência |r|<1. Como r=(1+c)^-1, precisamos de
|1+c| > 1 ; Longrightarrow; c > 0 ;ou; c < -2
O valor c=tfrac12 pertence ao intervalo c>0, então a série de fato converge para 4.

Resposta

c = \tfrac12

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