Para quais valores de
a série geométrica
converge para 4 ?
Passo 1
A questão pede para achar em quais valores de
a série {\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} 2(1+c)^{-k}} converge exatamente para 4. O conteúdo é soma de séries geométricas e precisamos usar a fórmula da soma infinita e a condição de convergência
.
Passo 2
Vamos reescrever a série em termos de uma razão
. Note que
onde definimos
. Assim temos
Passo 3
Pela fórmula da soma de série geométrica infinita, para
vale
Logo o valor da soma é
Passo 4
Substituindo
temos
Passo 5
Impondo
obtemos
Passo 6
Por fim, conferimos a condição de convergência
. Como
, precisamos de
O valor
pertence ao intervalo
, então a série de fato converge para 4.
Resposta
c = \tfrac12