Resolva as seguintes inequações:
2 x-1x+1 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
2x - 1x + 1 <= 0
O conteúdo envolve análise de sinais de uma função racional. Para resolver, vamos precisar determinar o domínio da expressão, identificar as raízes do numerador e do denominador e, em seguida, montar um quadro de sinais para decidir onde a fração é não-positiva.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que o denominador seja diferente de zero, ou seja,
x + 1 neq 0 Longrightarrow x neq -1

Passo 3

Encontramos as raízes do numerador e do denominador:
– Numerador 2x - 1 = 0 em
2x - 1 = 0 Longrightarrow x = tfrac12
– Denominador x + 1 = 0 em
x + 1 = 0 Longrightarrow x = -1

Passo 4

Vamos analisar o sinal de 2x-1x+1 nos intervalos determinados pelos pontos críticos x=-1 e x=tfrac12.
Nos três intervalos (-infty,-1), (-1,tfrac12) e (tfrac12,infty) escolhemos um valor teste:
  1. Em x=-2in(-infty,-1):
    numerador 2(-2)-1=-5 (negativo), denominador -2+1=-1 (negativo), logo a fração é positiva.
  2. Em x=0in(-1,tfrac12):
    numerador 2cdot0-1=-1 (negativo), denominador 0+1=1 (positivo), logo a fração é negativa.
  3. Em x=1in(tfrac12,infty):
    numerador 2cdot1-1=1 (positivo), denominador 1+1=2 (positivo), logo a fração é positiva.
Além disso, em x=tfrac12 o numerador se anula, dando valor zero à fração, e em x=-1 a expressão é indefinida.

Passo 5

Queremos 2x-1x+1<= 0, ou seja, os intervalos em que a fração é negativa ou zero. Pelos testes, isso ocorre somente para
xin(-1,tfrac12]
(excluindo -1, pois ali não está definida, e incluindo tfrac12 para obter o valor zero).

Resposta

boxed(-1,tfrac12]

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