Resolva as seguintes inequaçoes:
x-1x-2>x x-1x-3

Passo 1

O enunciado nos dá a inequação racional
x-1x-2>x(x-1)x-3
O conteúdo envolve manipular frações e resolver inequações racionais. Para isso, precisamos: determinar o domínio excluindo x=2 e x=3; passar tudo para um só lado, obtendo uma única fração; fatorar numerador e denominador; analisar sinais em cada intervalo.

Passo 2

Colocamos todos os termos do mesmo lado:
x-1x-2-x(x-1)x-3>0
Para juntar em um único quociente, usamos o denominador comum (x-2)(x-3):
(x-1)(x-3)-x(x-1)(x-2)(x-2)(x-3)>0

Passo 3

No numerador, fatoramos (x-1):
(x-1)l[(x-3)-x(x-2)r] =(x-1)l(-x^2+3x-3r)
Observamos que
-x^2+3x-3=-(x^2-3x+3)
não tem raízes reais (discriminante negativo), logo mantém sinal negativo para todo x. O denominador fatora-se como (x-2)(x-3).

Passo 4

Chamemos numerador de N=(x-1)(-x^2+3x-3) e denominador de D=(x-2)(x-3). Como -x^2+3x-3<0 para todo x, então sign(N) é contrário ao de x-1:
  • Se x<1, então x-1<0 e N>0.
  • Se x>1, então x-1>0 e N<0.
    Quanto ao denominador,
(x-2)(x-3)>0se x<2 ou x>3,
(x-2)(x-3)<0se 2<x<3

Passo 5

Para ND>0 ser verdadeira, ou N>0 e D>0, ou N<0 e D<0:
  • N>0 e D>0 ocorre quando x<1 (aqui já está em x<2, garantindo D>0).
  • N<0 e D<0 ocorre quando x>1 e 2<x<3, isto é, 2<x<3.
    Devemos ainda excluir os pontos x=1 (onde o numerador zera e a desigualdade é estrita) e x=2,3 (onde a expressão é indefinida).

Resposta

xin(-infty,1)cup(2,3)

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