Seja x in R. Se x^2 >= 4, e verdade que x >= 2 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para todo xinR, a condição
x^2 >= 4
implica necessariamente
x >= 2
Para responder, vamos primeiro achar todos os x que satisfazem x^2>=4.

Passo 2

Começamos resolvendo a inequação
x^2 - 4 >= 0
Observando que
x^2 - 4 = (x-2)(x+2),
temos um produto não negativo exatamente quando ou ambos os fatores são não negativos, ou ambos são não positivos.
  • Se x-2>=0 e x+2>=0, então x>=2.
  • Se x-2<=0 e x+2<=0, então x<= -2.
    Portanto a solução da inequação é
x<= -2 ou x>= 2

Passo 3

Como há valores de x tais que x^2>=4 mas x<2 (por exemplo x=-3), concluímos que a implicação “ x^2>=4 implica x>=2” não vale para todo xinR.

Resposta

Não. Um contraexemplo é x=-3, pois (-3)^2=9>=4 mas -3<2.

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