Resolva as seguintes inequações:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a inequação que é
. Esse exercício está na área de funções racionais e inequações. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e frações algébricas. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões têm problemas, ou seja, onde os denominadores são zero, pois nessas situações a função não está definida. Então:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Esses valores vão dividir a reta real em intervalos que vamos analisar separadamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar que o valor absoluto
pode ser escrito de duas maneiras:
- Se
, então . - Se
, então .
Então, vamos dividir a resolução em dois casos com base no sinal de
.
Passo 4
Caso 1:
Aqui,
. A inequação fica:
Vamos resolver essa inequação agindo nos passos seguintes.
Passo 5
Primeiro, encontramos os valores de
que tornam os denominadores zero, já identificamos
e
. Para evitar divisão por zero, excluímos esses valores.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados da inequação pelo denominador comum
, lembrando que precisamos considerar o sinal desse denominador para saber se a inequação mantém ou inverte o sinal.
Para
, verificamos onde
:
- Quando
, ambos e são negativos, então o produto é positivo. - Quando
, ambos são positivos, produto positivo. - Entre
, um positivo e outro negativo, produto negativo.
Passo 7
Multiplicando a inequação:
Expandindo ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
A equação
não possui raízes reais (discriminante negativo), então
é sempre positivo. Portanto, a inequação
é verdadeira para todo
no domínio considerado.
Passo 9
Voltando aos intervalos:
- Para
: a inequação é verdadeira. - Para
: a inequação não é válida, pois o denominador foi negativo. - Para
: a inequação é verdadeira.
Então, neste caso, a solução é
ou
.
Passo 10
Caso 2:
Aqui,
. A inequação fica:
Vamos resolver essa inequação agora.
Passo 11
Novamente, excluímos os valores que tornam os denominadores zero:
e
.
Passo 12
Multiplicando ambos os lados pela expressão positiva
, mas como
, precisamos analisar o sinal:
Para
:
Portanto, o produto
.
Então, multiplicamos sem inverter o sinal da inequação:
Expandindo:
Somando
aos dois lados:
Rearranjando:
Passo 13
Resolvendo a inequação quadrática
:
Calculamos o discriminante:
As raízes são:
Aproximadamente,
, então:
Passo 14
A inequação
é verdadeira entre as raízes:
Mas lembrando que estamos no caso
, então a solução para este caso é:
Resposta
A solução da inequação é
ou
.