Resolva as seguintes inequações:
|x|x-1>x+12 x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação que é |x|x-1 > x+12x-1. Esse exercício está na área de funções racionais e inequações. Para resolver, vamos precisar entender como trabalhar com valores absolutos e frações algébricas. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as expressões têm problemas, ou seja, onde os denominadores são zero, pois nessas situações a função não está definida. Então:
  • Para x - 1 = 0, temos x = 1.
  • Para 2x - 1 = 0, temos x = 12.
Esses valores vão dividir a reta real em intervalos que vamos analisar separadamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar que o valor absoluto |x| pode ser escrito de duas maneiras:
  • Se x >= 0, então |x| = x.
  • Se x < 0, então |x| = -x.
Então, vamos dividir a resolução em dois casos com base no sinal de x.

Passo 4

Caso 1: x >= 0
Aqui, |x| = x. A inequação fica:
xx - 1 > x + 12x - 1
Vamos resolver essa inequação agindo nos passos seguintes.

Passo 5

Primeiro, encontramos os valores de x que tornam os denominadores zero, já identificamos x = 1 e x = 12. Para evitar divisão por zero, excluímos esses valores.

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados da inequação pelo denominador comum (x - 1)(2x - 1), lembrando que precisamos considerar o sinal desse denominador para saber se a inequação mantém ou inverte o sinal.
Para x >= 0, verificamos onde (x - 1)(2x - 1) > 0:
  • Quando x < 12, ambos x - 1 e 2x - 1 são negativos, então o produto é positivo.
  • Quando x > 1, ambos são positivos, produto positivo.
  • Entre 12 < x < 1, um positivo e outro negativo, produto negativo.

Passo 7

Multiplicando a inequação:
x(2x - 1) > (x + 1)(x - 1)
Expandindo ambos os lados:
2x^2 - x > x^2 - 1
Subtraindo x^2 de ambos os lados:
x^2 - x + 1 > 0

Passo 8

A equação x^2 - x + 1 = 0 não possui raízes reais (discriminante negativo), então x^2 - x + 1 é sempre positivo. Portanto, a inequação x^2 - x + 1 > 0 é verdadeira para todo x no domínio considerado.

Passo 9

Voltando aos intervalos:
  • Para 0 <= x < 12: a inequação é verdadeira.
  • Para 12 < x < 1: a inequação não é válida, pois o denominador foi negativo.
  • Para x > 1: a inequação é verdadeira.
Então, neste caso, a solução é 0 <= x < 12 ou x > 1.

Passo 10

Caso 2: x < 0
Aqui, |x| = -x. A inequação fica:
-xx - 1 > x + 12x - 1
Vamos resolver essa inequação agora.

Passo 11

Novamente, excluímos os valores que tornam os denominadores zero: x neq 1 e x neq 12.

Passo 12

Multiplicando ambos os lados pela expressão positiva (x - 1)(2x - 1), mas como x < 0, precisamos analisar o sinal:
Para x < 0:
  • x - 1 < 0
  • 2x - 1 < 0
Portanto, o produto (x - 1)(2x - 1) > 0.
Então, multiplicamos sem inverter o sinal da inequação:
- x (2x - 1) > (x + 1)(x - 1)
Expandindo:
-2x^2 + x > x^2 - 1
Somando 2x^2 aos dois lados:
x > 3x^2 - 1
Rearranjando:
3x^2 - x - 1 < 0

Passo 13

Resolvendo a inequação quadrática 3x^2 - x - 1 < 0:
Calculamos o discriminante:
De<a = (-1)^2 - 4 cdot 3 cdot (-1) = 1 + 12 = 13
As raízes são:
x = 1 pm raiz136
Aproximadamente, raiz13 approx 3,606, então:
x approx 1 + 3,6066 approx 0,767 e x approx 1 - 3,6066 approx -0,434

Passo 14

A inequação 3x^2 - x - 1 < 0 é verdadeira entre as raízes:
-0,434 < x < 0,767
Mas lembrando que estamos no caso x < 0, então a solução para este caso é:
-0,434 < x < 0

Resposta

A solução da inequação é -0,434 < x < 12 ou x > 1.

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