Resolva as seguintes inequações:
2 x+1x-2 >= 1

Passo 1

Vamos resolver a inequação 2x + 1x - 2 >= 1. Esse exercício está relacionado ao estudo de inequações envolvendo frações algébricas. Para resolver, vamos precisar entender como manipular frações e como encontrar os valores críticos que determinam as soluções da inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para o lado esquerdo da desigualdade para facilitar a resolução:
2x + 1x - 2 - 1 >= 0
Para subtrair 1, podemos escrever 1 como x - 2x - 2, já que isso nos dá um denominador comum:
2x + 1x - 2 - x - 2x - 2 >= 0

Passo 3

Agora, subtraímos os numeradores mantendo o denominador:
2x + 1 - (x - 2)x - 2 >= 0
Simplificando o numerador:
2x + 1 - x + 2x - 2 = x + 3x - 2 >= 0

Passo 4

Para resolver x + 3x - 2 >= 0, precisamos encontrar os valores de x que tornam essa expressão maior ou igual a zero. Primeiro, identificamos os pontos onde o numerador ou denominador são zero, pois esses pontos dividem a reta numérica em intervalos:
x + 3 = 0 implies x = -3
x - 2 = 0 implies x = 2
Então, os pontos críticos são x = -3 e x = 2.

Passo 5

Agora, analisamos os sinais da fração em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Intervalo (-infty, -3):
    • x + 3 < 0
    • x - 2 < 0
    • A fração x + 3x - 2 é -- = +
  2. Intervalo (-3, 2):
    • x + 3 > 0
    • x - 2 < 0
    • A fração x + 3x - 2 é +- = -
  3. Intervalo (2, +infty):
    • x + 3 > 0
    • x - 2 > 0
    • A fração x + 3x - 2 é ++ = +

Passo 6

Queremos que a fração seja maior ou igual a zero. Portanto, os intervalos que satisfazem essa condição são onde a fração é positiva ou igual a zero. Além disso, precisamos considerar os pontos onde o numerador é zero, mas excluir onde o denominador é zero (pois a expressão não está definida):
  • x = -3: 0-5 = 0 (aceitamos porque é maior ou igual a zero)
  • x = 2: A expressão está indefinida, então excluímos esse valor

Resposta

A solução da inequação é:
x in (-infty, -3] cup (2, +infty)

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