Resolva as seguintes inequações exponenciais:
(12^x)^3 x+1 cdot 4^1+2 x-x^2 >=(18)^x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
(12^x)^3x+1cdot4^1+2x-x^2>=(18)^x-1
O conteúdo aqui é manipular potências com bases diferentes, reescrevendo tudo na base comum 2, e depois usar a monotonicidade de 2^t para comparar expoentes.

Passo 2

Reescrevemos cada fator da parte esquerda em base 2. Primeiro,
(12^x)^3x+1=(2^-x)^3x+1=2^-x(3x+1)=2^-3x^2-x
Em seguida,
4^1+2x-x^2=(2^2)^1+2x-x^2=2^2(1+2x-x^2)=2^2+4x-2x^2
Logo a parte esquerda se torna
2^-3x^2-xcdot2^2+4x-2x^2 =2^-5x^2+3x+2

Passo 3

Reescrevemos o lado direito em base 2:
(18)^x-1=(2^-3)^x-1=2^-3x+3

Passo 4

A inequação fica
2^-5x^2+3x+2>=2^-3x+3
Como a função 2^t é estritamente crescente, basta comparar os expoentes:
-5x^2+3x+2>= -3x+3

Passo 5

Resolvendo a desigualdade dos expoentes:
-5x^2+3x+2 +3x -3 >= 0 ;Longrightarrow; -5x^2+6x-1>=0 ;Longrightarrow; 5x^2-6x+1<=0
O discriminante é De<a=(-6)^2-4cdot5cdot1=36-20=16, com raízes
x=6pm410implies x=15ou x=1
Como 5x^2-6x+1 abre para cima, ela é não-positiva no intervalo entre as raízes, ou seja
15<= x<=1

Resposta

xinl[tfrac15,1r]

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