Resolva as seguintes inequações:
\frac{3}{2+x}-\frac{x+6}{3 x+6}>\frac{1}{2}

Passo 1

Reescrevemos a inequação
\frac{3}{2+x} \;-\;\frac{x+6}{3x+6} \;>\;\frac12.
O conteúdo é inequação racional: vamos primeiro determinar o domínio (evitar zeros nos denominadores) e depois manipular as frações para chegar a uma expressão cujo sinal possamos estudar.

Passo 2

O domínio exige
2+x\neq0 \quad\text{e}\quad 3x+6\neq0.
Como 3x+6=3(x+2), ambas as condições reduzem-se a x\neq-2.
Portanto o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-2\}.

Passo 3

Simplificamos o lado esquerdo combinando as frações sobre o mesmo denominador:
\frac{3}{x+2} \;-\;\frac{x+6}{3(x+2)} = \frac{9}{3(x+2)} \;-\;\frac{x+6}{3(x+2)} = \frac{9-(x+6)}{3(x+2)} = \frac{3-x}{3(x+2)}.
Assim a inequação fica
\frac{3-x}{3(x+2)} > \frac12.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 3 (número positivo, sinal inalterado):
\frac{3-x}{x+2} > \frac32.
Trazendo tudo para um único quociente, com denominador 2(x+2):
\frac{2(3-x)-3(x+2)}{2(x+2)} > 0 \;\Longrightarrow\; \frac{-5x}{2(x+2)} > 0.
Como 2>0, isso equivale a
\frac{-5x}{x+2} > 0 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{x+2} < 0.

Passo 5

Estudamos o sinal de \frac{x}{x+2}. Pontos críticos em x=-2 (denominador zero) e x=0 (numerador zero). Testamos os intervalos:
(-\infty,-2):\;x<0,\;x+2<0\;\Rightarrow\;\frac{x}{x+2}>0,
(-2,0):\;x<0,\;x+2>0\;\Rightarrow\;\frac{x}{x+2}<0,
(0,\infty):\;x>0,\;x+2>0\;\Rightarrow\;\frac{x}{x+2}>0.
Para \frac{x}{x+2}<0 a solução é x\in(-2,0). Nem x=-2 (fora do domínio) nem x=0 (igualdade) entram na solução.

Resposta

(-2,0)

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