Resolva as seguintes inequações:
\frac{2 x-1}{x-7} \geq \frac{x^{2}}{x-7}+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{2x-1}{x-7}\ge \frac{x^2}{x-7}+1,
que envolve expressões sobre o mesmo denominador x-7. Vamos usar as técnicas de:
  1. Colocar tudo em um único lado da inequação.
  2. Reduzir a uma única fração.
  3. Estudar o sinal dessa fração por meio de pontos críticos.
    Observação: o domínio exige x\neq7.

Passo 2

Subtraímos \frac{x^2}{x-7}+1 de ambos os lados, obtendo
\frac{2x-1}{x-7}-\frac{x^2}{x-7}-1\;\ge\;0.

Passo 3

Agrupamos as duas frações que têm denominador x-7:
\frac{2x-1 - x^2}{x-7}-1 =\frac{-x^2+2x-1}{x-7}-1.

Passo 4

Escrevemos -1 como -\frac{x-7}{x-7} e unimos em uma só fração:
\frac{-x^2+2x-1}{x-7}-\frac{x-7}{x-7} =\frac{-x^2+2x-1 - (x-7)}{x-7} =\frac{-x^2+2x-1 -x+7}{x-7} =\frac{-x^2+x+6}{x-7}.

Passo 5

Multiplicamos numerador e denominador por -1 (isso não altera o sinal da fração) para facilitar a fatoração:
\frac{-x^2+x+6}{x-7} =\frac{x^2 - x -6}{7 - x}.

Passo 6

Fatoramos o numerador x^2 - x -6=(x-3)(x+2). Assim a inequação fica
\frac{(x-3)(x+2)}{7-x}\;\ge\;0.
Os pontos críticos são onde o numerador ou o denominador zeram:
x=-2,\quad x=3,\quad x=7\\ (\text{excluído do domínio}).íí
Fazemos o estudo de sinal em cada intervalo:
Intervalo | (-\infty,-2) | \{-2\} | (-2,3) | \{3\} | (3,7) | 7 | (7,\infty)
Numerador (x-3)(x+2) | + | 0 | - | 0 | + | + | +
Denominador 7-x | + | + | + | + | + | 0 | -
Quociente | + | 0 | - | 0 | + | — | -

Passo 7

Para satisfazer \frac{(x-3)(x+2)}{7-x}\ge0 incluem-se os intervalos onde o quociente é positivo ou zero, excluindo x=7. Logo a solução é
(-\infty,-2]\;\cup\;[3,7).

Resposta

(-\infty,-2]\cup[3,7).

Exercícios relacionados