Resolva as seguintes inequações:
\quad \frac{4 x^{2}+4 x+1}{2 x-3} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{4x^{2}+4x+1}{2x-3}\ge 0.
Isso envolve identificar zeros do numerador e do denominador e estudar o sinal de cada fator para montar o quadro de sinais da razão.

Passo 2

Encontramos os pontos críticos:
4x^{2}+4x+1=(2x+1)^{2}\,,
logo o numerador zera em
2x+1=0\implies x=-\tfrac12.
O denominador zera em
2x-3=0\implies x=\tfrac32,
que é ponto proibido (não podemos ter divisão por zero).

Passo 3

Analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
  1. Para x<-\tfrac12:
    (2x+1)^{2}>0 (sempre positivo, salvo zero)
2x-3<0
⇒ fração <0.
  1. Em x=-\tfrac12:
    numerador =0, denominador \neq0
    ⇒ fração =0, satisfaz “ \ge0”.
  2. Para -\tfrac12<x<\tfrac32:
    numerador >0, denominador <0
    ⇒ fração <0.
  3. Para x>\tfrac32:
    numerador >0, denominador >0
    ⇒ fração >0, satisfaz “ \ge0”.

Passo 4

Concluindo, a inequação é satisfeita somente em
x=-\tfrac12 \quad\text{ou}\quad x>\tfrac32,
excluindo x=\tfrac32 por anular o denominador.

Resposta

\boxed{x=-\tfrac12\quad\text{ou}\quad x>\tfrac32.}

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