Resolva as seguintes inequações:
\frac{x^{2}-7 x+10}{x^{2}-5 x+6}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x^{2}-7x+10}{x^{2}-5x+6}<0.
O conteúdo aqui é inequações de função racional: vamos fatorar numerador e denominador, estudar o domínio (zeros do denominador) e fazer o quadro de sinais da expressão simplificada.

Passo 2

Fatorando numerador e denominador temos
x^{2}-7x+10=(x-5)(x-2),
x^{2}-5x+6=(x-3)(x-2).
Logo a expressão é
\frac{(x-5)(x-2)}{(x-3)(x-2)}.
O denominador se anula em x=2 e x=3, portanto o domínio exige x\neq2 e x\neq3.

Passo 3

Para x\neq2 podemos simplificar o fator (x-2), obtendo
\frac{x-5}{x-3}.
Ainda mantemos x\neq2 e x\neq3. A inequação vira
\frac{x-5}{x-3}<0.
Os pontos críticos são x=5 (zero do numerador) e x=3 (zero do denominador).

Passo 4

Estudamos o sinal de \frac{x-5}{x-3} em cada intervalo determinado por 3 e 5:
– Para x<3, por exemplo x=0: (0-5)/(0-3)=(-5)/(-3)>0.
– Para 3<x<5, por exemplo x=4: (4-5)/(4-3)=(-1)/1<0.
– Para x>5, por exemplo x=6: (6-5)/(6-3)=1/3>0.
Queremos onde a fração é negativa, isto é, em 3<x<5.

Passo 5

Como a inequação é estrita, não incluímos os pontos onde o numerador ou o denominador se anulam. E x=2 nem aparece na solução porque fica fora do intervalo relevante. Assim a solução final é

Resposta

(3,5)

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