Resolva as seguintes inequações:
\frac{-4 x-6}{5 x-10} \geq 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
-4x-65x-10>= 0
O conteúdo necessário é o estudo de sinais de expressões racionais: vamos encontrar onde o numerador é zero e onde o denominador se anula (pontos críticos) e depois analisar o sinal da fração em cada intervalo.

Passo 2

Determinamos as raízes do numerador e do denominador:
O numerador é -4x-6. Resolvendo
-4x-6=0
vem
x=-tfrac64=-tfrac32
O denominador é 5x-10. Resolviendo
5x-10=0
vem
x=2
Portanto, os pontos críticos são x=-tfrac32 (onde a fração pode valer zero) e x=2 (onde a fração é indefinida).

Passo 3

Agora fazemos a análise de sinais nos intervalos definidos por -infty, -tfrac32, 2 e +infty:
No intervalo (-infty,-tfrac32), por exemplo em x=-2:
– Numerador: -4(-2)-6=8-6=2>0.
– Denominador: 5(-2)-10=-10-10=-20<0.
Logo a fração é negativa.
Em (-tfrac32,2), por exemplo em x=0:
– Numerador: -6<0.
– Denominador: -10<0.
Logo a fração é positiva.
Em (2,+infty), por exemplo em x=3:
– Numerador: -4cdot3-6=-18<0.
– Denominador: 5cdot3-10=15-10=5>0.
Logo a fração é negativa.

Passo 4

Queremos -4x-65x-10>=0, ou seja, fração positiva ou zero. Pela análise de sinais e lembrando que em x=-tfrac32 a fração vale zero e em x=2 é indefinida, concluímos que a solução é
xinl[-tfrac32,2r)

Resposta

boxedxin[-32,2)

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