Resolva as seguintes inequações:
\frac{x(x-2)}{x-1}+2 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{x(x-2)}{x-1} + 2 \le 0,
que é uma inequação de fração racional. Para resolver, vamos:
  1. Colocar tudo sobre um único denominador.
  2. Encontrar os pontos críticos (zeros do numerador e valores que anulam o denominador).
  3. Fazer o estudo de sinal da expressão racional.
  4. Identificar os intervalos em que ela é não positiva.

Passo 2

Reunimos os termos sobre o mesmo denominador x-1:
\frac{x(x-2)}{x-1} + 2 = \frac{x(x-2) + 2(x-1)}{x-1} = \frac{x^2 -2x + 2x -2}{x-1} = \frac{x^2 - 2}{x-1}.
Logo a inequação fica
\frac{x^2 - 2}{x-1} \le 0.

Passo 3

Identificamos os pontos em que o numerador ou o denominador se anulam:
  • Numerador x^2-2=0 em x = \pm \sqrt{2}.
  • Denominador x-1=0 em x=1 (este valor não pertence ao domínio).
Esses valores particionam a reta em quatro intervalos: -\infty a -\sqrt{2}, de -\sqrt{2} a 1, de 1 a \sqrt{2} e de \sqrt{2} a +\infty.

Passo 4

Fazendo o estudo de sinal de \frac{x^2 - 2}{x-1}:
  • Para x<-\sqrt{2}: x^2-2>0 e x-1<0, então a fração é negativa.
  • Em x=-\sqrt{2}: numerador zero, fração vale zero (permitido).
  • Para -\sqrt{2}<x<1: x^2-2<0 e x-1<0, fração positiva.
  • Para 1<x<\sqrt{2}: x^2-2<0 e x-1>0, fração negativa.
  • Em x=\sqrt{2}: numerador zero, fração vale zero (permitido).
  • Para x>\sqrt{2}: x^2-2>0 e x-1>0, fração positiva.
Queremos onde a expressão é \le0, ou seja, negativa ou zero.

Passo 5

Juntando os intervalos onde \frac{x^2 - 2}{x-1}\le0 e lembrando que x\neq1, obtemos
(-\infty,\,-\sqrt{2}] \;\cup\;(1,\,\sqrt{2}].

Resposta

(-\infty,\,-\sqrt{2}] \;\cup\;(1,\,\sqrt{2}].

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