Resolva as seguintes inequações:
\frac{2 x^{2}+x-1}{x^{2}+x-6} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{2x^{2}+x-1}{x^{2}+x-6}\ge0.
O conteúdo envolve fatoração de polinômios, determinação de zeros e assíntotas, e análise de sinal de cada fator para montar o diagrama de sinais.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador e o denominador:
2x^{2}+x-1=(2x-1)(x+1),
x^{2}+x-6=(x+3)(x-2).

Passo 3

Os pontos críticos (onde a fração muda de sinal ou é indefinida) vêm de zeros de numerador e denominador:
– Numerador zero em (2x-1)=0\Rightarrow x=\tfrac12 e em (x+1)=0\Rightarrow x=-1. Nestes pontos a fração vale zero.
– Denominador zero em (x+3)=0\Rightarrow x=-3 e em (x-2)=0\Rightarrow x=2. Nestes pontos a fração é indefinida e não pode ser incluída na solução.

Passo 4

Agora dividimos a reta real nos intervalos (-\infty,-3), (-3,-1), (-1,\tfrac12), (\tfrac12,2) e (2,\infty) e testamos o sinal da fração em cada um:
Para x< -3, por exemplo x=-4: (2x-1)=-9<0, (x+1)=-3<0 ⇒ numerador >0; (x+3)=-1<0, (x-2)=-6<0 ⇒ denominador >0;
logo \frac{\text{num}}{\text{den}}>0.
Para -3<x<-1, por exemplo x=-2: (2x-1)=-5<0, (x+1)=-1<0 ⇒ numerador >0; (x+3)=1>0, (x-2)=-4<0 ⇒ denominador <0;
logo fração <0.
Para -1<x<\tfrac12, por exemplo x=0: (2x-1)=-1<0, (x+1)=1>0 ⇒ numerador <0; (x+3)=3>0, (x-2)=-2<0 ⇒ denominador <0;
logo fração >0.
Para \tfrac12<x<2, por exemplo x=1: (2x-1)=1>0, (x+1)=2>0 ⇒ numerador >0; (x+3)=4>0, (x-2)=-1<0 ⇒ denominador <0;
logo fração <0.
Para x>2, por exemplo x=3: (2x-1)=5>0, (x+1)=4>0 ⇒ numerador >0; (x+3)=6>0, (x-2)=1>0 ⇒ denominador >0;
logo fração >0.

Passo 5

A inequação exige \frac{2x^{2}+x-1}{x^{2}+x-6}\ge0, ou seja, queremos os intervalos em que a fração é positiva ou zero. Pelos testes, isso ocorre em (-\infty,-3), (-1,\tfrac12) e (2,\infty).
Além disso, incluímos os zeros do numerador x=-1 e x=\tfrac12, e excluímos x=-3 e x=2 (denominador zero).

Resposta

(-\infty,-3)\;\cup\;[-1,\tfrac12]\;\cup\;(2,\infty).

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