Resolva as seguintes inequações:
\frac{x^{2}-7 x+10}{(x-3)(x-4)} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{x^{2}-7x+10}{(x-3)(x-4)} \le 0.
O conteúdo envolvido é estudo de sinais de uma função racional. Vamos precisar fatorar numerador e denominador, determinar zeros e pontos de indefinição, particionar a reta e analisar o sinal em cada região.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^{2}-7x+10 = (x-2)(x-5), \qquad (x-3)(x-4)\\ \text{já está fatorado}.áá
Logo a inequação vira
\frac{(x-2)(x-5)}{(x-3)(x-4)} \le 0.
Note que a expressão não está definida em x=3 nem em x=4.

Passo 3

Os pontos críticos são as raízes do numerador x=2,5 e as raízes do denominador x=3,4. Esses valores particionam a reta real em cinco intervalos:
(-\infty,2),\quad (2,3),\quad (3,4),\quad (4,5),\quad (5,\infty).

Passo 4

Escolhemos um valor teste em cada intervalo e avaliamos o sinal de \tfrac{(x-2)(x-5)}{(x-3)(x-4)}:
Para x<2 (por exemplo x=0): todos os quatro fatores são negativos,
logo \tfrac{(-)\cdot(-)}{(-)\cdot(-)}>0.
Para 2<x<3 (por exemplo x=2,5): (x-2)>0, (x-5)<0, (x-3)<0, (x-4)<0,
logo \tfrac{(+)\cdot(-)}{(-)\cdot(-)}<0.
Para 3<x<4 (por exemplo x=3,5): (x-2)>0, (x-5)<0, (x-3)>0, (x-4)<0,
logo \tfrac{(+)\cdot(-)}{(+)\cdot(-)}>0.
Para 4<x<5 (por exemplo x=4,5): (x-2)>0, (x-5)<0, (x-3)>0, (x-4)>0,
logo \tfrac{(+)\cdot(-)}{(+)\cdot(+)}<0.
Para x>5 (por exemplo x=6): todos os quatro fatores são positivos,
logo \tfrac{(+)\cdot(+)}{(+)\cdot(+)}>0.
Como queremos \le0, aceitamos as regiões em que a função é negativa ou zero. A função zera em x=2 e x=5 (e nesses pontos o denominador é diferente de zero), e é negativa em (2,3) e (4,5). Ela não pode assumir valor em x=3 nem x=4.

Resposta

A solução da inequação é
x\in [2,3)\;\cup\;(4,5].

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