Resolva as seguintes inequações em \mathbb{R} :
-2 x^{2}+12 x-18<0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
-2x^{2} + 12x - 18 < 0.
Isso é uma inequação do segundo grau. Para resolver, vamos colocar a expressão em uma forma que nos permita analisar facilmente seu sinal, por exemplo, completando o quadrado ou fatorando.

Passo 2

Podemos começar fatorando −2 em evidência:
-2x^{2} + 12x - 18 = -2\bigl(x^{2} - 6x + 9\bigr).
Dentro dos parênteses reconhecemos um quadrado perfeito, pois
x^{2} - 6x + 9 = (x - 3)^{2}.
Logo,

Passo 3

-2x^{2} + 12x - 18 = -2\,(x - 3)^{2}.

Passo 4

A inequação fica então
-2\,(x - 3)^{2} < 0.
Como o fator -2 é negativo e (x-3)^{2} é sempre maior ou igual a zero, o produto -2\,(x-3)^{2} será estritamente menor que zero sempre que (x-3)^{2} for estritamente positivo. E (x-3)^{2}>0 para todo x\neq3.

Passo 5

Portanto, a inequação é satisfeita por todo x exceto pelo ponto em que (x-3)^{2}=0, ou seja, x=3.

Resposta

(-\infty,3)\,\cup\,(3,\infty).

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