Resolva as seguintes inequações:
x^4-3 x^2+2>x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^4-3x^2+2 > x^2-1
O conteúdo aqui é resolução de inequações polinomiais: vamos transpor tudo para um lado, fatorar o polinômio resultante e analisar o sinal em cada intervalo determinado pelas raízes.

Passo 2

Transpondo x^2-1 para o lado esquerdo, obtemos
x^4-3x^2+2 - (x^2-1) > 0
ou seja
x^4 -4x^2 +3 > 0

Passo 3

Fatoramos x^4-4x^2+3 em dois quadráticos notáveis:
x^4-4x^2+3 = (x^2-1)(x^2-3)
Em seguida cada fator quadrático se fatora em raízes reais:
(x^2-1)(x^2-3) = (x-1)(x+1)(x-raiz3)(x+raiz3)

Passo 4

As raízes do polinômio são
x = -raiz3, x = -1, x = 1, x = raiz3
Para saber onde o produto dos quatro fatores é positivo, analisamos o número de fatores negativos em cada intervalo:
x<-raiz3: todos os quatro fatores são negativos Rightarrow produto positivo.
-raiz3<x<-1: três fatores negativos Rightarrow produto negativo.
-1<x<1: dois fatores negativos Rightarrow produto positivo.
1<x<raiz3: um fator negativo Rightarrow produto negativo.
x>raiz3: nenhum fator negativo Rightarrow produto positivo.

Passo 5

Como queremos onde o produto é estritamente maior que zero, excluímos os pontos em que o polinômio zera. Logo a solução da inequação é
(-infty,,-raiz3);cup;(-1,1);cup;(raiz3,infty)

Resposta

(-infty,,-raiz3);cup;(-1,1);cup;(raiz3,infty)

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