Resolva as seguintes inequações:
x \operatorname{sen}(x) \geq 0 se 0 \leq x \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação x\sin(x)\ge 0 no intervalo 0\le x\le 2\pi.
Informações dadas:
  • A desigualdade é x\sin(x)\ge 0.
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,2\pi].
O que precisamos encontrar: todos os valores de x em [0,2\pi] que satisfazem x\sin(x)\ge 0.

Passo 2

Regra útil (aulas rápidas de “sinal de produto”): para dois números reais a e b vale
a b \ge 0
se, e somente se, uma das seguintes situações ocorrer:
  • a=0 ou b=0 (o produto é zero), ou
  • a e b têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos), o que torna o produto positivo.
Vamos aplicar isso com a=x e b=\sin(x).

Passo 3

Encontrar zeros dos fatores dentro do intervalo:
  • x=0 é solução de x=0 e pertence ao intervalo.
  • \sin(x)=0 quando x=k\pi para inteiro k. No intervalo 0\le x\le 2\pi isso dá x=0,\\ \pi,\\\ 2\pi.
Portanto os pontos onde o produto pode ser zero são x=0,\\ \pi,\\\ 2\pi.

Passo 4

Analisar o sinal do fator x no intervalo 0\le x\le 2\pi:
  • Para todo x em (0,2\pi] temos x>0.
  • Em x=0 temos x=0.
Conclusão: exceto em x=0, o fator x é estritamente positivo. Assim, para x>0 o sinal de x\sin(x) é exatamente o mesmo sinal de \sin(x). Em x=0 o produto é zero.

Passo 5

Analisar o sinal de \sin(x) em [0,2\pi] (aqui uma breve lembrança geométrica): a função \sin(x) é a ordenada do ponto no círculo unitário; ela é
  • positiva em (0,\pi) (1.º e 2.º quadrantes),
  • zero em x=0,\\ \pi,\\\ 2\pi,
  • negativa em (\pi,2\pi) (3.º e 4.º quadrantes).
Exemplos que confirmam: \sin(\tfrac{\pi}{2})=1>0 e \sin(\tfrac{3\pi}{2})=-1<0.

Passo 6

Combinar as informações:
  • Em x=0,\\ \pi,\\\ 2\pi o produto x\sin(x)=0, portanto satisfaz \ge 0.
  • Para x em (0,\pi) temos x>0 e \sin(x)>0, logo x\sin(x)>0 (satisfeita).
  • Para x em (\pi,2\pi) temos x>0 e \sin(x)<0, logo x\sin(x)<0 (não satisfaz).
Portanto os pontos que satisfazem a inequação são todos os x de [0,\pi] (onde \sin(x)\ge0) e também o ponto x=2\pi (onde o produto vale zero).

Resposta

[0,\pi]\cup\{2\pi\}

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