Resolva as seguintes inequações:
se
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
no intervalo
.
Informações dadas:
- A desigualdade é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
.
O que precisamos encontrar: todos os valores de
em
que satisfazem
.
Passo 2
Regra útil (aulas rápidas de “sinal de produto”): para dois números reais
e
vale
se, e somente se, uma das seguintes situações ocorrer:
-
ou (o produto é zero), ou -
e têm o mesmo sinal (ambos não negativos ou ambos não positivos), o que torna o produto positivo.
Vamos aplicar isso com
e
.
Passo 3
Encontrar zeros dos fatores dentro do intervalo:
-
é solução de e pertence ao intervalo. -
quando para inteiro . No intervalo isso dá .
Portanto os pontos onde o produto pode ser zero são
.
Passo 4
Analisar o sinal do fator
no intervalo
:
- Para todo
em temos . - Em
temos .
Conclusão: exceto em
, o fator
é estritamente positivo. Assim, para
o sinal de
é exatamente o mesmo sinal de
. Em
o produto é zero.
Passo 5
Analisar o sinal de
em
(aqui uma breve lembrança geométrica): a função
é a ordenada do ponto no círculo unitário; ela é
- positiva em
(1.º e 2.º quadrantes), - zero em
, - negativa em
(3.º e 4.º quadrantes).
Exemplos que confirmam:
e
.
Passo 6
Combinar as informações:
- Em
o produto , portanto satisfaz . - Para
em temos e , logo (satisfeita). - Para
em temos e , logo (não satisfaz).
Portanto os pontos que satisfazem a inequação são todos os
de
(onde
) e também o ponto
(onde o produto vale zero).