Resolva as seguintes integrais
integral cos (ln x)x d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos resolver a integral integral cos (ln x)x , dx. Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente técnicas de substituição para resolver integrais que envolvem funções compostas. Para resolver, vamos precisar utilizar a regra de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos começar fazendo uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar t = ln x .

Passo 3

Calculamos a derivada de t em relação a x :
dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt

Passo 4

Substituímos t = ln x e dx = x , dt na integral original:
integral cos (ln x)x , dx = integral cos t cdot x , dtx = integral cos t , dt
Aqui, o x no numerador e denominador cancelam, deixando uma integral mais simples.

Passo 5

A integral integral cos t , dt é uma integral básica. Sabemos que a integral de cos t em relação a t é sin t + C, onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando para a variável original x , substituímos t = ln x :
sin t + C = sin (ln x) + C

Resposta

A integral resolvida é sin (ln x) + C.

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