Resolver as inequeções modulares em R :
|x+12 x-1| <= 2

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação de valor absoluto
|x+12x-1|<= 2
no conjunto dos reais. O conteúdo envolve inequações modulares e racionais, então vamos identificar o domínio, converter o valor absoluto numa dupla desigualdade e resolver duas inequações racionais por análise de sinal.

Passo 2

O domínio exige 2x-1neq 0, ou seja
xneq 12
Logo trabalharemos separadamente para x<12 e para x>12.

Passo 3

A condição l|tfracx+12x-1r|<=2 é equivalente a
-2 <= x+12x-1 <= 2,
o que gera duas desigualdades simultâneas:
x+12x-1<= 2 e x+12x-1>= -2

Passo 4

Primeiro, resolvemos
x+12x-1<= 2
Subtraindo 2 e juntando em único quociente, temos
x+12x-1-2 =x+1-2(2x-1)2x-1 =-3x+32x-1 =3(1-x)2x-1<=0
Os pontos críticos são x=1 (zero do numerador) e x=12 (zero do denominador). Pela análise de sinal:
  • Para x<12: 1-x>0, 2x-1<0 to fração negativa to satisfaz.
  • Para 12<x<1: 1-x>0, 2x-1>0 to fração positiva to não satisfaz.
  • Para x>1: 1-x<0, 2x-1>0 to fração negativa to satisfaz.
    Em x=1 a expressão vale zero, então incluímos x=1.
    Portanto a solução desta parte é
(-infty,tfrac12);cup;[1,infty)

Passo 5

Agora resolvemos
x+12x-1>= -2
Somando 2 e juntando frações:
x+12x-1+2 =x+1+2(2x-1)2x-1 =5x-12x-1>=0
Os pontos críticos são x=15 (zero do numerador) e x=12. Pela análise de sinal:
  • Para x<15: 5x-1<0, 2x-1<0 to fração positiva to satisfaz.
  • Para 15<x<12: 5x-1>0, 2x-1<0 to fração negativa to não satisfaz.
  • Para x>12: 5x-1>0, 2x-1>0 to fração positiva to satisfaz.
    Em x=15 a expressão vale zero, incluímos esse ponto.
    Portanto a solução desta parte é
(-infty,tfrac15];cup;(tfrac12,infty)

Passo 6

A solução final é a interseção das duas soluções parciais com o domínio xneqtfrac12:
l((-infty,tfrac12)cup[1,infty)r) ;cap; l((-infty,tfrac15]cup(tfrac12,infty)r) = (-infty,tfrac15];cup;[1,infty)

Resposta

(-infty,tfrac15];cup;[1,infty)

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