Resolva as seguintes integrais
integral x^4+2x^3-4 x^2+5 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^4+2x^3-4 x^2+5 x-2 , dx. Esse exercício envolve integração de frações racionais, que é quando temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e depois simplificar a fração resultante.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( 4) é maior que o do denominador ( 3). Isso significa que precisamos fazer a divisão polinomial antes de integrar. Vamos dividir x^4+2 por x^3-4x^2+5x-2.

Passo 3

Realizando a divisão:
Subtraindo, temos:
Isso significa que:

Passo 4

Agora, nossa integral fica:
integral ( x + 4x^3 -5x^2 +2x +2x^3-4x^2+5x-2 ) dx = integral x , dx + integral 4x^3 -5x^2 +2x +2x^3-4x^2+5x-2 , dx
Vamos resolver a primeira parte:
integral x , dx = 12x^2 + C

Passo 5

Agora, focando na segunda integral:
integral 4x^3 -5x^2 +2x +2x^3-4x^2+5x-2 , dx
Perceba que o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau. Podemos reescrever a fração como:
4x^3 -5x^2 +2x +2x^3-4x^2+5x-2 = 4 + 11x^2 -18x +10x^3-4x^2+5x-2

Passo 6

Agora, a integral fica:
4 integral dx + integral 11x^2 -18x +10x^3-4x^2+5x-2 , dx
Integrando a primeira parte:
4x + integral 11x^2 -18x +10x^3-4x^2+5x-2 , dx
Para resolver a segunda integral, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Mas primeiro, precisamos fatorar o denominador x^3-4x^2+5x-2.

Passo 7

Fatorando x^3-4x^2+5x-2:
Testando possíveis raízes, vemos que x=1 é raiz, pois:
1^3 -4(1)^2 +5(1) -2 = 1 -4 +5 -2 = 0
Então, dividimos o polinômio por (x-1):
x^3-4x^2+5x-2 = (x-1)(x^2-3x+2)
E fatorando mais:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)
Então, o denominador fatorado é:
(x-1)^2(x-2)

Passo 8

Agora, vamos escrever a fração como:
11x^2 -18x +10(x-1)^2(x-2) = Ax-1 + B(x-1)^2 + Cx-2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)^2(x-2):
11x^2 -18x +10 = A(x-1)(x-2) + B(x-2) + C(x-1)^2

Passo 9

Vamos encontrar os valores de A, B e C:
  1. Para x=1:
11(1)^2 -18(1) +10 = A(0) + B(-1) + C(0) Rightarrow 11 -18 +10 = -B Rightarrow 3 = -B Rightarrow B = -3
  1. Para x=2:
11(2)^2 -18(2) +10 = A(1)(0) + B(0) + C(1)^2 Rightarrow 44 -36 +10 = C Rightarrow C = 18
  1. Para x=0:
11(0)^2 -18(0) +10 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(-1)^2 Rightarrow 10 = 2A -2B + C
Sabendo que B = -3 e C = 18:
10 = 2A -2(-3) + 18 Rightarrow 10 = 2A +6 +18 Rightarrow 2A = -14 Rightarrow A = -7

Passo 10

Então, a decomposição fica:
11x^2 -18x +10(x-1)^2(x-2) = -7x-1 + -3(x-1)^2 + 18x-2

Passo 11

Agora, voltando à integral:
4x + integral ( -7x-1 + -3(x-1)^2 + 18x-2 ) dx
Integrando termo a termo:
4x -7 ln|x-1| + 3x-1 + 18 ln|x-2| + C

Resposta

A solução da integral é:
4x -7 ln|x-1| + 3x-1 + 18 ln|x-2| + C

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