Resolva as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve integração de frações racionais, que é quando temos um polinômio no numerador e outro no denominador. Para resolver, vamos precisar dividir os polinômios e depois simplificar a fração resultante.
Passo 2
Primeiro, observamos que o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
). Isso significa que precisamos fazer a divisão polinomial antes de integrar. Vamos dividir
por
.
Passo 3
Realizando a divisão:
Subtraindo, temos:
Isso significa que:
Passo 4
Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver a primeira parte:
Passo 5
Agora, focando na segunda integral:
Perceba que o numerador e o denominador são polinômios de mesmo grau. Podemos reescrever a fração como:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Integrando a primeira parte:
Para resolver a segunda integral, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Mas primeiro, precisamos fatorar o denominador
.
Passo 7
Fatorando
:
Testando possíveis raízes, vemos que
é raiz, pois:
Então, dividimos o polinômio por
:
E fatorando mais:
Então, o denominador fatorado é:
Passo 8
Agora, vamos escrever a fração como:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Vamos encontrar os valores de
,
e
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Sabendo que
e
:
Passo 10
Então, a decomposição fica:
Passo 11
Agora, voltando à integral:
Integrando termo a termo:
Resposta
A solução da integral é: