Resolva as seguintes integrais
integral e^-2 x sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral e^-2x sin(x) , dx. Esse tipo de integral envolve funções exponenciais e trigonométricas, e para resolvê-la, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Vou te mostrar passo a passo como aplicar essa técnica para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é integração por partes. É uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula básica é:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, escolhemos partes da nossa integral para serem u e dv.

Passo 3

Para a nossa integral integral e^-2x sin(x) , dx, vamos escolher:
u = sin(x) Rightarrow du = cos(x) , dx
dv = e^-2x , dx Rightarrow v = integral e^-2x , dx = -12 e^-2x
Esses serão os componentes que vamos usar na fórmula da integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
integral e^-2x sin(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= sin(x) cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) cos(x) , dx
= -12 e^-2x sin(x) + 12 integral e^-2x cos(x) , dx

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral integral e^-2x cos(x) , dx. Vamos aplicar novamente a integração por partes nessa integral.
Escolhemos:
u = cos(x) Rightarrow du = -sin(x) , dx
dv = e^-2x , dx Rightarrow v = -12 e^-2x

Passo 6

Aplicando a fórmula da integração por partes novamente:
integral e^-2x cos(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
= cos(x) cdot (-12 e^-2x) - integral (-12 e^-2x) (-sin(x)) , dx
= -12 e^-2x cos(x) - 12 integral e^-2x sin(x) , dx

Passo 7

Agora, vamos substituir essa última expressão na equação que tínhamos no Passo 4:
integral e^-2x sin(x) , dx = -12 e^-2x sin(x) + 12 ( -12 e^-2x cos(x) - 12 integral e^-2x sin(x) , dx )
Simplificando:
integral e^-2x sin(x) , dx = -12 e^-2x sin(x) - 14 e^-2x cos(x) - 14 integral e^-2x sin(x) , dx

Passo 8

Vamos chamar nossa integral original de I:
I = integral e^-2x sin(x) , dx
Então, temos:
I = -12 e^-2x sin(x) - 14 e^-2x cos(x) - 14 I
Agora, vamos resolver para I:
I + 14 I = -12 e^-2x sin(x) - 14 e^-2x cos(x)
54 I = -12 e^-2x sin(x) - 14 e^-2x cos(x)
Multiplicando ambos os lados por 45:
I = -25 e^-2x sin(x) - 15 e^-2x cos(x) + C

Resposta

A integral integral e^-2x sin(x) , dx é igual a:
-25 e^-2x sin(x) - 15 e^-2x cos(x) + C
onde C é a constante de integração.

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