Resolva as seguintes integrais
integral0^2 x e^-x^2 d x

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral definida integral0^2 x e^-x^2 , dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais envolvendo funções exponenciais e substituição. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da função que pode ser substituída para facilitar a integração. Observamos que temos x multiplicando e^-x^2. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde a parte do expoente seja a nossa nova variável.
Vamos definir:
u = -x^2
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx
Isso significa que:
x , dx = -12 , du

Passo 3

Com a substituição feita, agora vamos reescrever a integral original em termos de u:
integral x e^-x^2 , dx = integral e^u (-12) du = -12 integral e^u , du
A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u, então temos:
-12 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos substituir u de volta para x:
-12 e^-x^2 + C
Essa é a antiderivada da função x e^-x^2.

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a 2, precisamos calcular o valor dessa antiderivada nos limites de 0 a 2 e subtrair:
[ -12 e^-x^2 ]0^2 = ( -12 e^-4 ) - ( -12 e^0 )
Sabemos que e^0 = 1, então:
-12 e^-4 + 12 = 12 (1 - e^-4)

Resposta

A integral integral0^2 x e^-x^2 , dx é igual a 12 (1 - e^-4).

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