Resolva as seguintes integrais definidas utilizando o método de integração por partes:
integral0^1 x^2 ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1 x^2ln(x),dx usando o método de integração por partes. O conteúdo principal é integração por partes e vamos precisar da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = ln(x) porque sua derivada simplifica, e dv = x^2,dx. Assim, derivando e integrando, temos du = 1x,dx e v = x^33.

Passo 3

Aplicamos integração por partes: integral x^2ln(x),dx = u,v - integral v,du = x^33ln(x) - integral x^33cdot1x,dx. Simplificando dentro da integral, fica x^33ln(x) - 13integral x^2,dx. Calculando integral x^2,dx = x^33, obtemos a primitiva x^33ln(x) - x^39 + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a 1: em x=1, 13ln(1) - 19 = -19. Em xto 0, o termo x^33ln(x) tende a 0 e x^39 tende a 0. Portanto, a integral definida é o diferença dos valores nos extremos, ou seja, -tfrac19.

Resposta

-tfrac19

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