Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{-1}^{2} \frac{5 x-3}{x^{2}-2 x+1} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} \frac{5x - 3}{x^{2} - 2x + 1}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Note que o denominador fatoriza como (x-1)^2, então vamos simplificar a função racional antes de encontrar a primitiva.

Passo 2

Fatore o denominador e faça a substituição
u = x - 1, \quad du = dx, \quad x = u + 1.
Reescrevendo o numerador e o denominador em u:
5x - 3 = 5(u+1) - 3 = 5u + 2, \quad (x-1)^2 = u^2.
Logo a função fica
\frac{5x - 3}{(x-1)^2} = \frac{5u + 2}{u^2} = \frac{5u}{u^2} + \frac{2}{u^2} = \frac{5}{u} + \frac{2}{u^2}.

Passo 3

Transforme também os limites de integração:
quando x=-1, u=-1-1=-2;
quando x=2, u=2-1=1.
A integral torna-se
\int_{-1}^{2} \frac{5x - 3}{(x-1)^2}\,dx = \int_{-2}^{1} \Bigl(\frac{5}{u} + \frac{2}{u^2}\Bigr)\,du.

Passo 4

Ache uma primitiva de \frac{5}{u} + \frac{2}{u^2}:
\int \frac{5}{u}\,du = 5\ln\lvert u\rvert, \quad \int \frac{2}{u^2}\,du = 2\int u^{-2}\,du = -\frac{2}{u}.
Portanto uma antiderivada é
F(u) = 5\ln\lvert u\rvert - \frac{2}{u}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{1} \Bigl(\frac{5}{u} + \frac{2}{u^2}\Bigr)\,du = F(1) - F(-2).
Calcule
F(1) = 5\ln 1 - \frac{2}{1} = -2, \quad F(-2) = 5\ln 2 - \frac{2}{-2} = 5\ln 2 + 1.
Assim
\int_{-2}^{1} \Bigl(\frac{5}{u} + \frac{2}{u^2}\Bigr)\,du = -2 - \bigl(5\ln 2 + 1\bigr) = -3 - 5\ln 2.

Resposta

-3 - 5\ln 2

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