Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{-1}^{1} x e^{3 x} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1} x e^{3x}\,dx
usando o teorema fundamental do cálculo. Para isso, vamos precisar encontrar uma primitiva de x e^{3x}, e a técnica mais direta é integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = x, \quad dv = e^{3x}\,dx,
então
du = dx, \quad v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Pela fórmula de partes,
\int x e^{3x}\,dx = u\,v - \int v\,du = \frac{x e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}\,dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{1}{9}e^{3x}.
Agrupando, uma primitiva é
F(x) = \frac{e^{3x}(3x-1)}{9}.

Passo 3

Agora avaliamos F nos extremos:
F(1) = \frac{e^{3}(3\cdot1-1)}{9} = \frac{2e^{3}}{9}, \qquad F(-1) = \frac{e^{-3}(3(-1)-1)}{9} = -\frac{4e^{-3}}{9}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental do cálculo,
\int_{-1}^{1} x e^{3x}\,dx = F(1) - F(-1) = \frac{2e^{3}}{9} - \Bigl(-\frac{4e^{-3}}{9}\Bigr) = \frac{2e^{3} + 4e^{-3}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{2e^{3} + 4e^{-3}}{9}.

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