Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{x}+1}{(\mathrm{x}+2)^{2}} \mathrm{dx};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{1}\frac{x+1}{(x+2)^{2}}\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Vamos encontrar uma primitiva da função f(x)=\frac{x+1}{(x+2)^{2}} e depois avaliá-la em x=-1 e x=1.

Passo 2

Para simplificar a integral, fazemos a substituição
u = x + 2 \quad\Longrightarrow\quad du = dx,
e note que x+1 = u-1. Assim
\frac{x+1}{(x+2)^{2}}\,dx = \frac{u-1}{u^{2}}\,du = \Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\Bigr)\,du.

Passo 3

Calculamos a antiderivada em u:
\int\Bigl(\frac{1}{u}-\frac{1}{u^{2}}\Bigr)\,du = \int\frac{1}{u}\,du \;-\;\int u^{-2}\,du = \ln\lvert u\rvert + \frac{1}{u} + C.
Como em nosso intervalo u=x+2 varia de 1 a 3, podemos descartar o valor absoluto. Voltando a x, uma primitiva é
F(x) = \ln(x+2) + \frac{1}{x+2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-1}^{1}\frac{x+1}{(x+2)^{2}}\,dx = F(1) - F(-1).
Calculando:
F(1) = \ln(3) + \frac{1}{3}, \quad F(-1) = \ln(1) + 1 = 1,
então
F(1)-F(-1) = \Bigl(\ln(3)+\tfrac{1}{3}\Bigr) - 1 = \ln(3) - \tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \ln(3) - \frac{2}{3}

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