Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{\pi} 2 e^{4 x} \operatorname{sen} x d x ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} 2\,e^{4x}\sin x\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Precisamos encontrar um antiderivado F(x) de 2e^{4x}\sin x e depois avaliar F(\pi)-F(0). Para obter F(x) vamos primeiro achar \displaystyle \int e^{4x}\sin x\,dx, usando integração por partes.

Passo 2

Seja
I = \int e^{4x}\sin x\,dx.
Aplicamos integração por partes sabendo que
u = \sin x,\quad dv = e^{4x}dx \quad\Longrightarrow\quad du = \cos x\,dx,\quad v = \frac{e^{4x}}{4}.
Então
I = u\,v - \int v\,du = \frac{e^{4x}\sin x}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4}\cos x\,dx = \frac{e^{4x}\sin x}{4} - \frac{1}{4}\int e^{4x}\cos x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int e^{4x}\cos x\,dx usamos outra vez partes:
u = \cos x,\quad dv = e^{4x}dx \quad\Longrightarrow\quad du = -\sin x\,dx,\quad v = \frac{e^{4x}}{4}.
Então
\int e^{4x}\cos x\,dx = \frac{e^{4x}\cos x}{4} - \int \frac{e^{4x}}{4}(-\sin x)\,dx = \frac{e^{4x}\cos x}{4} + \frac{1}{4}\int e^{4x}\sin x\,dx = \frac{e^{4x}\cos x}{4} + \frac{I}{4}.
Substituindo esse resultado em I:
I = \frac{e^{4x}\sin x}{4} - \frac{1}{4}\Bigl(\frac{e^{4x}\cos x}{4} + \frac{I}{4}\Bigr) = \frac{e^{4x}\sin x}{4} - \frac{e^{4x}\cos x}{16} - \frac{I}{16}.
Isolando I:
I + \frac{I}{16} = \frac{e^{4x}\sin x}{4} - \frac{e^{4x}\cos x}{16} \quad\Longrightarrow\quad \frac{17I}{16} = \frac{4e^{4x}\sin x - e^{4x}\cos x}{16}
I = \int e^{4x}\sin x\,dx = \frac{4e^{4x}\sin x - e^{4x}\cos x}{17} = \frac{e^{4x}(4\sin x - \cos x)}{17}.

Passo 4

Como na integral original há o fator 2, o antiderivado de 2e^{4x}\sin x é
F(x) = 2\,I = 2\cdot\frac{e^{4x}(4\sin x - \cos x)}{17} = \frac{2e^{4x}(4\sin x - \cos x)}{17}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\pi}2e^{4x}\sin x\,dx = F(\pi) - F(0).
Calculamos:
F(\pi) = \frac{2e^{4\pi}(4\sin\pi - \cos\pi)}{17} = \frac{2e^{4\pi}(0 - (-1))}{17} = \frac{2e^{4\pi}}{17},
F(0) = \frac{2e^{0}(4\sin0 - \cos0)}{17} = \frac{2(0 - 1)}{17} = -\frac{2}{17}.

Passo 6

Subtraindo,
F(\pi) - F(0) = \frac{2e^{4\pi}}{17} - \Bigl(-\frac{2}{17}\Bigr) = \frac{2e^{4\pi} + 2}{17} = \frac{2\bigl(e^{4\pi} + 1\bigr)}{17}.

Resposta

\int_{0}^{\pi}2\,e^{4x}\sin x\,dx = \frac{2\bigl(e^{4\pi} + 1\bigr)}{17}.

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