Resolva as seguintes integrais definidas, utilizando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{1} x \operatorname{sen}\left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para isso, vamos empregar uma substituição que transforme a parte x\,dx em du de forma a obter uma integral mais simples em termos de uma função elementar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 1.
Dessa relação segue que
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração em x pelos correspondentes em u. Quando x=0,
u = 0^{2}+1 = 1.
Quando x=1,
u = 1^{2}+1 = 2.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{1} x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \int_{u=1}^{u=2} \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}\operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 5

Agora calculamos a integral de \operatorname{sen}(u). Uma primitiva de \operatorname{sen}(u) é
-\cos(u).
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\operatorname{sen}(u)\,du = \frac{1}{2}\Bigl[-\cos(u)\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(2) + \cos(1)\bigr).

Resposta

\int_{0}^{1} x\,\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = \frac{\cos(1) - \cos(2)}{2}.

Exercícios relacionados