Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E}\left(2 x y^{3}-3 x\right) d A, onde $E=\left{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, 0 \leq x \leq 2\right.) e \left.1 \leq y \leq 4\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E}\bigl(2xy^{3}-3x\bigr)\,dA
onde
E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 2,\;1\le y\le 4\}.
O conteúdo é integração dupla sobre um domínio retangular, e vamos usar integração iterada (Fubini), integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada:
\iint_{E}(2xy^{3}-3x)\,dA =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=1}^{4}\bigl(2xy^{3}-3x\bigr)\,dy\,dx.
Para cada x fixo, integramos em y:
\int_{1}^{4}\bigl(2xy^{3}-3x\bigr)\,dy =2x\int_{1}^{4}y^{3}\,dy-3x\int_{1}^{4}1\,dy.

Passo 3

Calculamos separadamente:
\int_{1}^{4}y^{3}\,dy =\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{1}^{4} =\frac{4^{4}}{4}-\frac{1^{4}}{4} =\frac{256}{4}-\frac{1}{4} =\frac{255}{4},
\int_{1}^{4}1\,dy =\bigl[y\bigr]_{1}^{4} =4-1=3.
Logo,
\int_{1}^{4}(2xy^{3}-3x)\,dy =2x\cdot\frac{255}{4}-3x\cdot3 =\frac{255}{2}x-9x =\frac{255-18}{2}\,x =\frac{237}{2}\,x.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{2}\frac{237}{2}\,x\,dx =\frac{237}{2}\int_{0}^{2}x\,dx =\frac{237}{2}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =\frac{237}{2}\cdot\frac{2^{2}}{2} =\frac{237}{2}\cdot\frac{4}{2} =\frac{237}{2}\cdot2 =237.

Resposta

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