Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E} 4 x y^{2} \cos (x) d A, onde E=[0,5] \times[0,4].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E}4\,x\,y^{2}\cos(x)\,dA,
onde E=[0,5]\times[0,4].
O conteúdo aqui é aplicar o Teorema de Fubini para separar a integral sobre x e y, pois o integrando é produto de funções de x e de y.

Passo 2

Usando Fubini, escrevemos
\iint_{E}4\,x\,y^{2}\cos(x)\,dA =\int_{x=0}^{5}\!\int_{y=0}^{4}4\,x\,y^{2}\cos(x)\,dy\,dx.
Como 4\,x\,\cos(x) independe de y, tiramos isso da integral interna em y:
\int_{y=0}^{4}4\,x\,y^{2}\cos(x)\,dy =4\,x\,\cos(x)\int_{0}^{4}y^{2}\,dy.
Calculemos
\int_{0}^{4}y^{2}\,dy =\Bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{4} =\frac{4^{3}}{3} =\frac{64}{3}.
Logo a integral em y vale
4\,x\,\cos(x)\cdot\frac{64}{3} =\frac{256}{3}\,x\,\cos(x).

Passo 3

Agora resta calcular
\int_{0}^{5}\frac{256}{3}\,x\,\cos(x)\,dx =\frac{256}{3}\int_{0}^{5}x\cos(x)\,dx.
Fazemos integração por partes em \int x\cos(x)\,dx, tomando \;u=x, \,dv=\cos(x)\,dx \implies du=dx, \,v=\sin(x).
Então
\int x\cos(x)\,dx =x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx =x\sin(x)+\cos(x)+C.
Avaliando de 0 a 5,
\int_{0}^{5}x\cos(x)\,dx =\bigl[\,x\sin(x)+\cos(x)\bigr]_{0}^{5} =\bigl(5\sin(5)+\cos(5)\bigr)-\bigl(0\cdot\sin(0)+\cos(0)\bigr) =5\sin(5)+\cos(5)-1.

Passo 4

Multiplicando pelo fator fora da integral, temos
\frac{256}{3}\int_{0}^{5}x\cos(x)\,dx =\frac{256}{3}\bigl(5\sin(5)+\cos(5)-1\bigr).

Resposta

\iint_{E}4\,x\,y^{2}\cos(x)\,dA =\frac{256}{3}\bigl(5\sin(5)+\cos(5)-1\bigr).

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