Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E}(2 x-y) d A, onde E é a região triangular de vértices A(0,0), B(3,3) e C(3,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E}(2x - y)\,dA
onde E é o triângulo com vértices A(0,0), B(3,3) e C(3,0).
O conteúdo usado será a interpretação de região no plano e o Teorema de Fubini para passar à integral iterada.

Passo 2

Precisamos descrever E por desigualdades adequadas. A projeção de E no eixo x varia de x=0 a x=3. Para um x fixo, o y varia de y=0 (eixo x) até a reta que liga (0,0) a (3,3), ou seja y=x. Logo,
E = \{(x,y)\mid 0\le x\le3,\;0\le y\le x\}.

Passo 3

Aplicando Fubini, escrevemos
\iint_{E}(2x - y)\,dA = \int_{x=0}^{3}\Bigl(\int_{y=0}^{x}(2x-y)\,dy\Bigr)\,dx.
Calculemos primeiro a integral interna:
\int_{0}^{x}(2x - y)\,dy = \Bigl[2x\,y - \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{x} = 2x\cdot x - \tfrac{x^2}{2} = 2x^2 - \tfrac{x^2}{2} = \tfrac{3}{2}x^2.

Passo 4

Substituindo na integral externa:
\int_{0}^{3}\tfrac{3}{2}x^2\,dx = \tfrac{3}{2}\,\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{3} = \tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{27}{3} = \tfrac{3}{2}\cdot9 = \tfrac{27}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{27}{2}

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