Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E} 4 e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde E é a região localizada entre as circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E}4e^{x^{2}+y^{2}}\,dA
onde E é a região do plano entre as circunferências x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9.
O conteúdo principal aqui é usar coordenadas polares para simplificar integrais em regiões circulares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e x^{2}+y^{2}=r^{2}. Assim a integral vira
\iint_{E}4e^{r^{2}}\,r\,dr\,d\theta,
com r variando de 2 a 3 e \theta de 0 a 2\pi. Logo
\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{2}^{3}4r\,e^{r^{2}}\,dr\,d\theta.

Passo 3

Para o integral em r usamos a substituição
u = r^{2},\quad du = 2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad 4r\,dr = 2\,du.
Quando r=2, u=4; quando r=3, u=9. Assim
\int_{2}^{3}4r\,e^{r^{2}}\,dr = \int_{u=4}^{9}2\,e^{u}\,du = 2\bigl[e^{u}\bigr]_{4}^{9} = 2\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Passo 4

Falta integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi}2\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr)\,d\theta =2\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr)\cdot\bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} =2\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr)\cdot2\pi =4\pi\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

Resposta

4\pi\bigl(e^{9}-e^{4}\bigr).

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