Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E} d A, onde E é a região triangular de vértices A(0,0), B(0,4) e C(8,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \iint_{E} dA sobre a região triangular E de vértices A(0,0), B(0,4) e C(8,0). Essa integral representa a área do triângulo, de modo que precisamos descrever E por desigualdades, montar uma integral iterada e avaliá-la.

Passo 2

A reta que liga B(0,4) a C(8,0) tem coeficiente angular
m = \frac{0-4}{8-0} = -\tfrac12,
logo sua equação é
y = 4 - \tfrac{x}{2}.
Assim a região E pode ser escrita como
E = \bigl\{(x,y)\mid 0 \le x \le 8,\;0 \le y \le 4 - \tfrac{x}{2}\bigr\}.

Passo 3

Escrevemos a integral iterada e calculamos em duas etapas. Primeiro, a fórmula da área:
\iint_{E} dA = \int_{0}^{8}\!\!\int_{0}^{4 - \tfrac{x}{2}} dy\,dx.
A integral interna em y
\int_{0}^{4 - \tfrac{x}{2}} dy = 4 - \tfrac{x}{2}.
Substituindo na integral externa:
\int_{0}^{8}\Bigl(4 - \tfrac{x}{2}\Bigr)dx = \int_{0}^{8}4\,dx \;-\;\tfrac12\int_{0}^{8}x\,dx = 4\cdot 8 \;-\;\tfrac12\cdot \frac{8^{2}}{2} = 32 - 16 = 16.

Resposta

16

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