Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E} e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde E é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=0 e y=x e pela circunferência x^{2}+y^{2}=1,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E} e^{x^{2}+y^{2}} \, dA,
onde E é a região do primeiro quadrante limitada por y=0, y=x e pela circunferência x^{2}+y^{2}=1. Como o integrando e a região se descrevem naturalmente em coordenadas polares, iremos fazer essa mudança de variáveis.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,\quad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
A região E corresponde a \;0 \le r \le 1 e \;0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{4}.
Logo a integral vira
\iint_{E} e^{x^{2}+y^{2}} \, dA = \int_{\theta=0}^{\pi/4}\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral interna em r. Use a substituição \;u = r^{2}, \;du = 2r\,dr, logo r\,dr = \tfrac{du}{2}.
Isso dá
\int_{r=0}^{1} e^{r^{2}}\,r\,dr = \tfrac{1}{2}\int_{u=0}^{1} e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}\bigl(e^{1}-e^{0}\bigr) = \tfrac{1}{2}(e-1).

Passo 4

Agora integramos em \theta, sabendo que o resultado anterior é constante em \theta:
\int_{0}^{\pi/4} \tfrac{1}{2}(e-1)\,d\theta = \tfrac{1}{2}(e-1)\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/4} = \tfrac{1}{2}(e-1)\,\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{8}(e-1).

Resposta

\frac{\pi}{8}\,(e-1)

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