Resolva as seguintes integrais duplas:
\iint_{E} 2 e^{x^{2}+y^{2}} d A, onde E é a região do primeiro quadrante limitada pela circunferência x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{E} 2\,e^{x^{2}+y^{2}}\,dA
onde E é a parte do primeiro quadrante dentro do círculo x^{2}+y^{2}=1. O conteúdo aqui envolve mudança para coordenadas polares, pois a função depende apenas de x^{2}+y^{2} e a região é circular.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
e x^{2}+y^{2}=r^{2}. Na região E temos 0\le r\le1 e 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\iint_{E}2\,e^{x^{2}+y^{2}}\,dA =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1}2\,e^{r^{2}}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Para calcular o integral em r, usamos a substituição u=r^{2}, logo du=2r\,dr. Assim
\int_{0}^{1}2\,e^{r^{2}}\,r\,dr =\int_{u=0}^{1}e^{u}\,du =\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} =e-1.

Passo 5

Fica então
\int_{0}^{\pi/2}(e-1)\,d\theta =(e-1)\,\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\pi/2 } =\frac{\pi}{2}\,(e-1).

Resposta

\frac{\pi}{2}\,(e-1)

Exercícios relacionados