Resolva as seguintes integrais triplas:
\iiint_{W} 12 x^{2} y z d V, onde W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{2}, 0 \leq x \leq 3,2 \leq y \leq 5\right. e \left.0 \leq z \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W} 12\,x^{2}\,y\,z \,dV
no paralelepípedo W dado por
0 \le x \le 3,\quad 2 \le y \le 5,\quad 0 \le z \le 2.
O que vamos usar é o Teorema de Fubini, que permite separar a integral em iteradas porque a região é retangular e a função é contínua.

Passo 2

Escrevemos a integral iterada na ordem dz\,dy\,dx:
\int_{x=0}^{3}\!\int_{y=2}^{5}\!\int_{z=0}^{2} 12\,x^{2}\,y\,z \;dz\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos primeiro em z, tratando x e y como constantes:
\int_{0}^{2} z \,dz = \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{2^{2}}{2} = 2.
Logo a integral interna vira
\int_{0}^{2}12\,x^{2}\,y\,z\,dz = 12\,x^{2}\,y \cdot 2 = 24\,x^{2}\,y.

Passo 4

Agora integramos em y:
\int_{y=2}^{5}24\,x^{2}\,y\,dy = 24\,x^{2}\,\int_{2}^{5}y\,dy = 24\,x^{2}\,\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{2}^{5} = 24\,x^{2}\,\frac{25 - 4}{2} = 24\,x^{2}\,\frac{21}{2} = 252\,x^{2}.

Passo 5

Por fim, integramos em x:
\int_{x=0}^{3}252\,x^{2}\,dx = 252\,\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{3} = 252\,\frac{27}{3} = 252 \times 9 = 2268.

Resposta

O valor da integral é 2268.

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