Resolva as seguintes integrais triplas:
\iiint_{W} 6 z d V onde W é a região cilíndrica de raio 2 e limitada por z=0 e z=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{W}6z\,dV
onde W é o cilindro de raio 2 entre z=0 e z=3.
Conteúdo: integração em coordenadas cilíndricas. Vamos usar a simetria cilíndrica para descrever W e o elemento de volume dV.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\quad dV=r\,dr\,d\theta\,dz.
Os limites são
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le3,
então a integral vira
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{3}6z\,(r\,dz\,dr\,d\theta).

Passo 3

Calcular primeiro a integral em z:
\int_{0}^{3}6z\;r\,dz =6r\int_{0}^{3}z\,dz =6r\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{3} =6r\cdot\frac{9}{2} =27r.

Passo 4

Agora a integral em r:
\int_{0}^{2}27r\,dr =27\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2} =27\cdot\frac{4}{2} =54.

Passo 5

Por fim, integramos em \theta:
\int_{0}^{2\pi}54\,d\theta =54\cdot2\pi =108\pi.

Resposta

\iiint_{W}6z\,dV = 108\pi.

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