Resolva as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é o produto de um polinômio linear
e uma exponencial
. Queremos uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda), mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação sobre estratégia (explicação didática): a integral é uma soma de duas parcelas por linearidade da integral. Ou seja,
Separar assim facilita porque
é direta e
pode ser feita por partes. A linearidade da integral significa que
e
para constante
.
Passo 3
Calcular
(fórmula e explicação): existe a regra básica
onde
é uma constante. Isso vem porque, por diferenciação,
. Aqui
, logo
Passo 4
Calcular
usando integração por partes (aula rápida): a fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhas que fazemos para decompor o integrando. A heurística comum (LIATE) diz para escolher
como a parte algébrica (aqui
) e
como a parte exponencial. Então escolhemos
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula:
A integral restante já sabemos (Passo 3), portanto
Explicando os termos: o primeiro termo vem do produto
e o segundo é a integral de
.
Passo 5
Combinar resultados da Passo 2, 3 e 4 e simplificar (álgebra passo a passo):
Substituindo as primitivas encontradas:
Agora somamos os termos em
:
Colocando em denominador comum
:
Logo a primitiva é
Podemos também fatorar
: