Resolva as seguintes integrais indefinidas:
\int(x-5) \cdot e^{3 x} \cdot d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int (x-5)e^{3x}\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é o produto de um polinômio linear (x-5) e uma exponencial e^{3x}. Queremos uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda), mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre estratégia (explicação didática): a integral é uma soma de duas parcelas por linearidade da integral. Ou seja,
\int (x-5)e^{3x}\,dx = \int x e^{3x}\,dx - 5\int e^{3x}\,dx.
Separar assim facilita porque \int e^{3x}\,dx é direta e \int x e^{3x}\,dx pode ser feita por partes. A linearidade da integral significa que \int (f+g)=\int f+\int g e \int c\cdot f = c\int f para constante c.

Passo 3

Calcular \int e^{3x}\,dx (fórmula e explicação): existe a regra básica
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C,
onde a é uma constante. Isso vem porque, por diferenciação, \frac{d}{dx}\big(\frac{1}{a}e^{a x}\big)=\frac{1}{a}\cdot a e^{a x}=e^{a x}. Aqui a=3, logo
\int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}+C.

Passo 4

Calcular \int x e^{3x}\,dx usando integração por partes (aula rápida): a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas que fazemos para decompor o integrando. A heurística comum (LIATE) diz para escolher u como a parte algébrica (aqui x) e dv como a parte exponencial. Então escolhemos
u=x,\qquad dv=e^{3x}\,dx.
Calculamos du e v:
du = dx,\qquad v=\int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Agora aplicamos a fórmula:
\int x e^{3x}\,dx = u v - \int v\,du = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx.
A integral restante já sabemos (Passo 3), portanto
\int x e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + C = \frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C.
Explicando os termos: o primeiro termo vem do produto uv e o segundo é a integral de v\,du.

Passo 5

Combinar resultados da Passo 2, 3 e 4 e simplificar (álgebra passo a passo):
\int (x-5)e^{3x}\,dx = \int x e^{3x}\,dx - 5\int e^{3x}\,dx.
Substituindo as primitivas encontradas:
= \Big(\frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\Big) - 5\Big(\frac{1}{3}e^{3x}\Big) + C.
Agora somamos os termos em e^{3x}:
- \frac{1}{9}e^{3x} - 5\cdot\frac{1}{3}e^{3x} = -\frac{1}{9}e^{3x} - \frac{5}{3}e^{3x}.
Colocando em denominador comum 9:
-\frac{1}{9}e^{3x} - \frac{15}{9}e^{3x} = -\frac{16}{9}e^{3x}.
Logo a primitiva é
\frac{1}{3}x e^{3x} - \frac{16}{9}e^{3x} + C.
Podemos também fatorar e^{3x}:
e^{3x}\Big(\frac{1}{3}x - \frac{16}{9}\Big) = \frac{e^{3x}}{9}\,(3x-16) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{e^{3x}}{9}\,(3x-16)+C

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