Resolva as seguintes integrais indefinidas pelo método que achar conveniente:
(0,5) integral x^2raiz(4-x^2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (ou antiderivada) da função
x^2raizl(4 - x^2r)^3
ou seja, calcular
integral x^2l(4 - x^2r)^3/2,dx
O conteúdo principal aqui é integral de função racional envolvendo raiza^2-x^2, e um caminho clássico é usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta
Com isso
4 - x^2 = 4 - 4sin^2theta = 4cos^2theta,
logo
raizl(4 - x^2r)^3 = l(4cos^2thetar)^3/2 = 8cos^3theta

Passo 3

Substituindo na integral temos
x^2 = 4sin^2theta, dx = 2costheta,dtheta,
portanto
integral x^2l(4 - x^2r)^3/2,dx = integral 4sin^2theta8cos^3thetacdot 2costheta,dtheta = integral 8sin^2theta,costheta8cos^3theta,dtheta = integral sin^2thetacos^2theta,dtheta = integral tan^2theta,dtheta

Passo 4

Lembrando que tan^2theta = sec^2theta - 1, temos
integral tan^2theta,dtheta = integral (sec^2theta - 1),dtheta = integral sec^2theta,dtheta ;-;integral 1,dtheta = tantheta ;-;theta + C

Passo 5

Volta à variável x. Como fizemos x=2sintheta, então
sintheta = x2, theta = arcsin!l(tfracx2r), tantheta = sinthetacostheta = x/2raiz1-sin^2theta = xraiz4 - x^2
Logo a primitiva é
F(x) = tantheta - theta + C = xraiz4 - x^2 - arcsin!l(tfracx2r) + C

Resposta

boxed,integral x^2raizl(4 - x^2r)^3,dx = xraiz4 - x^2 - arcsin!l(tfracx2r) + C

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