Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas: temos uma função racional em
com numerador
e denominador
. Não há outras restrições nem parâmetros. Vamos transformar essa integral por substituição para torná‑la numa forma conhecida.
Passo 2
Ideia da substituição (explicando por que): note que o denominador contém
, que é
. Então definir uma nova variável igual a
simplifica o denominador para uma soma de quadrados. Além disso, a derivada de
é proporcional a
, o que combina bem com o numerador
. Em geral, a técnica de substituição consiste em definir
de modo que o diferencial
apareça multiplicando a parte restante da integranda.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente: defina
Calcule o diferencial
. Como a derivada de
é
, temos
Desse modo podemos escrever
Agora substituímos na integral: o numerador
vira
e o denominador
vira
Portanto a integral original transforma‑se em
Passo 4
Lembrando a fórmula básica que vamos usar: para
,
Explicação rápida dessa fórmula: a derivada de
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia para
e ajustando constantes, obtém‑se exatamente a fórmula acima. No nosso caso temos
e
, então
.
Passo 5
Aplicando a fórmula ao integral em
:
Agora voltamos à variável original
lembrando que
. Substituindo de volta, a primitiva em
é