Resolva as seguintes integrais indefinidas a seguir:
\int \frac{2 x^{9}}{x^{20}+16} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{2x^{9}}{x^{20}+16}\,dx.
Informações dadas: temos uma função racional em x com numerador 2x^{9} e denominador x^{20}+16. Não há outras restrições nem parâmetros. Vamos transformar essa integral por substituição para torná‑la numa forma conhecida.

Passo 2

Ideia da substituição (explicando por que): note que o denominador contém x^{20}, que é (x^{10})^{2}. Então definir uma nova variável igual a x^{10} simplifica o denominador para uma soma de quadrados. Além disso, a derivada de x^{10} é proporcional a x^{9}, o que combina bem com o numerador 2x^{9}. Em geral, a técnica de substituição consiste em definir \,t=\varphi(x)\, de modo que o diferencial dt apareça multiplicando a parte restante da integranda.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente: defina
t = x^{10}.
Calcule o diferencial dt. Como a derivada de x^{10} é 10x^{9}, temos
dt = 10x^{9}\,dx.
Desse modo podemos escrever
x^{9}\,dx = \frac{dt}{10}.
Agora substituímos na integral: o numerador 2x^{9}\,dx vira
2x^{9}\,dx = 2\cdot\frac{dt}{10} = \frac{1}{5}\,dt,
e o denominador x^{20}+16 vira
x^{20}+16 = (x^{10})^{2}+16 = t^{2}+16.
Portanto a integral original transforma‑se em
\int \frac{2x^{9}}{x^{20}+16}\,dx = \frac{1}{5}\int \frac{1}{t^{2}+16}\,dt.

Passo 4

Lembrando a fórmula básica que vamos usar: para a>0,
\int \frac{1}{u^{2}+a^{2}}\,du = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right)+C.
Explicação rápida dessa fórmula: a derivada de \arctan(v) em relação a v é \dfrac{1}{1+v^{2}}. Aplicando a regra da cadeia para v=\dfrac{u}{a} e ajustando constantes, obtém‑se exatamente a fórmula acima. No nosso caso temos u=t e a^{2}=16, então a=4.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao integral em t:
\frac{1}{5}\int \frac{1}{t^{2}+16}\,dt = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{t}{4}\right)+C = \frac{1}{20}\arctan\!\left(\frac{t}{4}\right)+C.
Agora voltamos à variável original x lembrando que t=x^{10}. Substituindo de volta, a primitiva em x é
\frac{1}{20}\arctan\!\left(\frac{x^{10}}{4}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{20}\arctan\!\left(\frac{x^{10}}{4}\right)+C

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