Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
;
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo (usar substituição):
Informações dadas:
- A integranda é o produto de uma potência
por um fator linear . - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que seja a integranda. - Deve-se apresentar a resposta como uma integral indefinida (mais constante de integração).
Passo 2
Observação didática sobre a técnica que vou usar: quando a integranda tem uma função composta elevada a uma potência, é muito comum fazer a substituição
(a parte interior da potência). Isso simplifica a integral porque transforma a derivada da interior em
e reduz a integral a uma potência simples de
, que é fácil de integrar. Vou aplicar isso passo a passo aqui.
Passo 3
Escolher a substituição. Defino a nova variável
como a expressão interna da potência:
Aqui
é uma função de
. A ideia é reescrever toda a integral em termos de
e
.
Passo 4
Calcular
. Diferenciando
em relação a
obtemos:
Isso significa que, em termos de diferenciais,
Então podemos isolar o fator
:
Explicando:
representa o incremento infinitesimal de
quando
varia; trocar por
nos permite integrar uma potência de
facilmente.
Passo 5
Substituir na integral original. A integranda tem exatamente
que é
, e o fator
foi transformado em
. Portanto:
Passo 6
Integrar em
. A regra para integrar uma potência é: se
então
Aqui
, logo
Passo 7
Voltar à variável
. Lembrando que
, substitui-se de volta:
Esta é a primitiva buscada.
Passo 8
Verificação rápida (checagem por derivação): para confirmar que a primitiva está correta, deriva-se
. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. (A constante
some na derivada, como esperado.)
Passo 9
Dica prática para a prova (resumida e útil): ao ver
, tente
. Se a derivada do polinômio aparece multiplicando, a substituição costuma transformar a integral numa potência simples de
.