Resolva as seguintes integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por substituição:
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x+1) d x;

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo (usar substituição):
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x+1)\,d x.
Informações dadas:
  • A integranda é o produto de uma potência \left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10} por um fator linear (2 x+1).
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x) seja a integranda.
  • Deve-se apresentar a resposta como uma integral indefinida (mais constante de integração).

Passo 2

Observação didática sobre a técnica que vou usar: quando a integranda tem uma função composta elevada a uma potência, é muito comum fazer a substituição u= (a parte interior da potência). Isso simplifica a integral porque transforma a derivada da interior em du e reduz a integral a uma potência simples de u, que é fácil de integrar. Vou aplicar isso passo a passo aqui.

Passo 3

Escolher a substituição. Defino a nova variável u como a expressão interna da potência:
u = 2x^{2}+2x-3.
Aqui u é uma função de x. A ideia é reescrever toda a integral em termos de u e du.

Passo 4

Calcular du. Diferenciando u em relação a x obtemos:
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr) = 4x+2.
Isso significa que, em termos de diferenciais,
du = (4x+2)\,dx = 2(2x+1)\,dx.
Então podemos isolar o fator (2x+1)\,dx:
(2x+1)\,dx = \frac{du}{2}.
Explicando: du representa o incremento infinitesimal de u quando x varia; trocar por du nos permite integrar uma potência de u facilmente.

Passo 5

Substituir na integral original. A integranda tem exatamente \left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10} que é u^{10}, e o fator (2x+1)\,dx foi transformado em \dfrac{du}{2}. Portanto:
\int\left(2 x^{2}+2 x-3\right)^{10}(2 x+1)\,dx = \int u^{10}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int u^{10}\,du.

Passo 6

Integrar em u. A regra para integrar uma potência é: se n\neq -1 então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=10, logo
\frac{1}{2}\int u^{10}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{u^{11}}{11}+C = \frac{u^{11}}{22}+C.

Passo 7

Voltar à variável x. Lembrando que u=2x^{2}+2x-3, substitui-se de volta:
\frac{u^{11}}{22}+C = \frac{\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr)^{11}}{22}+C.
Esta é a primitiva buscada.

Passo 8

Verificação rápida (checagem por derivação): para confirmar que a primitiva está correta, deriva-se F(x)=\dfrac{\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr)^{11}}{22}. Usando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{11}{22}\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr)^{10}\cdot(4x+2) = \frac{11}{22}\cdot 2(2x+1)\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr)^{10} = (2x+1)\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr)^{10},
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta. (A constante C some na derivada, como esperado.)

Passo 9

Dica prática para a prova (resumida e útil): ao ver \int [\text{polinômio}(x)]^{n}\cdot(\text{derivada do polinômio})(x)\,dxôô, tente u=\text{polinômio}(x)ô. Se a derivada do polinômio aparece multiplicando, a substituição costuma transformar a integral numa potência simples de u.

Resposta

\frac{\bigl(2x^{2}+2x-3\bigr)^{11}}{22}+C

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